Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(7;6;8\right),M\left(5;-5;-3\right)$. Tìm tọa độ điểm $B$ biết $\Delta ABC$ vuông tại $C$ và $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
A. $B\left(3;-16;-14\right)$ B. $B\left(-2;-11;-11\right)$ C. $B\left(-17;4;-2\right)$ D. $B\left(2;11;11\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm tọa độ điểm khi biết tọa độ điểm đầu và trung điểm của đoạn thẳng, được lồng ghép trong bối cảnh hình học không gian. Phương pháp giải dựa trên tính chất cơ bản của tam giác vuông: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ($M$) chính là trung điểm của cạnh huyền ($AB$). Do đó, ta áp dụng công thức tìm điểm cuối $B$ khi biết điểm đầu $A$ và trung điểm $M$: $B = 2M – A$.
Bài toán tương tự
Câu 1: Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(1;2;3\right), M\left(4;0;-1\right)$. Tìm tọa độ điểm $B$ biết $\Delta ABC$ vuông tại $C$ và $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
A. $B\left(7; -2; -5\right)$ B. $B\left(5; -2; 2\right)$ C. $B\left(3; 2; 4\right)$ D. $B\left(6; -2; -4\right)$
Đáp án đúng: A.
Giải thích: Vì $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ vuông tại $C$ nên $M$ là trung điểm cạnh huyền $AB$. Ta có $B = 2M – A$. $B = 2(4; 0; -1) – (1; 2; 3) = (8-1; 0-2; -2-3) = (7; -2; -5)$.
Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(-2; 5; 0\right), M\left(1; -1; 3\right)$. Tìm tọa độ điểm $B$ biết $\Delta ABC$ vuông tại $C$ và $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
A. $B\left(0; 3; 3\right)$ B. $B\left(4; -7; 6\right)$ C. $B\left(-3; 6; 1\right)$ D. $B\left(3; 4; 7\right)$
Đáp án đúng: B.
Giải thích: $M$ là trung điểm của $AB$. $B = 2M – A$. $B = 2(1; -1; 3) – (-2; 5; 0) = (2+2; -2-5; 6-0) = (4; -7; 6)$.
Câu 3: Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(0; 4; -6\right), M\left(3; 1; 1\right)$. Tìm tọa độ điểm $B$ biết $\Delta ABC$ vuông tại $C$ và $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
A. $B\left(3; 5; -5\right)$ B. $B\left(6; -2; 8\right)$ C. $B\left(6; 2; -4\right)$ D. $B\left(6; -2; -8\right)$
Đáp án đúng: B.
Giải thích: $M$ là trung điểm của $AB$. $B = 2M – A$. $B = 2(3; 1; 1) – (0; 4; -6) = (6-0; 2-4; 2+6) = (6; -2; 8)$.
Câu 4: Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(10; -4; 2\right), M\left(6; -3; 0\right)$. Tìm tọa độ điểm $B$ biết $\Delta ABC$ vuông tại $C$ và $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
A. $B\left(2; -2; -2\right)$ B. $B\left(16; -7; 2\right)$ C. $B\left(2; -1; -2\right)$ D. $B\left(8; -3, 2\right)$
Đáp án đúng: A.
Giải thích: $M$ là trung điểm của $AB$. $B = 2M – A$. $B = 2(6; -3; 0) – (10; -4; 2) = (12-10; -6+4; 0-2) = (2; -2; -2)$.
Câu 5: Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(-5; -5; 5\right), M\left(-1; 2; 0\right)$. Tìm tọa độ điểm $B$ biết $\Delta ABC$ vuông tại $C$ và $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
A. $B\left(-6; -3; 5\right)$ B. $B\left(4; 7; -5\right)$ C. $B\left(3; 9; -5\right)$ D. $B\left(3; -9; 5\right)$
Đáp án đúng: C.
Giải thích: $M$ là trung điểm của $AB$. $B = 2M – A$. $B = 2(-1; 2; 0) – (-5; -5; 5) = (-2+5; 4+5; 0-5) = (3; 9; -5).