Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A\left(-2;-2;-4\right),B\left(2;5;4\right),C\left(4;-4;-2\right),A’\left(-2;-5;3\right)$. Tìm tọa độ điểm $C’$
A. $C’\left(4;-1;-9\right)$ B. $C’\left(2;2;11\right)$ C. $C’\left(0;-11;-10\right)$ D. $C’\left(4;-7;5\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng toán tìm tọa độ đỉnh còn lại của hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ khi biết 4 đỉnh $A, B, C, A’$. Phương pháp giải dựa trên tính chất vector của hình hộp: các vector nối hai đỉnh tương ứng trên các mặt đáy song song (các cạnh bên) là bằng nhau. Cụ thể, $\vec{AA’} = \vec{CC’}$. Từ đó, tọa độ $C’$ được tính bằng công thức $C’ = C + \vec{AA’}$.
Bài toán tương tự
1. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A(-1; 3; 0), C(3; 1; 2), A'(0; 5; -1)$. Tìm tọa độ điểm $C’$.
A. $C'(2; 1; 3)$ B. $C'(4; 3; 1)$ C. $C'(3; -1; 3)$ D. $C'(4; -1; 1)$
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\vec{AA’} = A’ – A = (0 – (-1); 5 – 3; -1 – 0) = (1; 2; -1)$. Vì $ABCD.A’B’C’D’$ là hình hộp nên $\vec{CC’} = \vec{AA’}$. $C’ = C + \vec{AA’} = (3+1; 1+2; 2-1) = (4; 3; 1)$.
2. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A(0; 0; 0), B(1; 2; 3), C(4; 5; 6), A'(1; 1; 1)$. Tìm tọa độ điểm $D’$.
A. $D'(3; 3; 3)$ B. $D'(4; 4; 4)$ C. $D'(5; 6; 7)$ D. $D'(4; 3; 4)$
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: Ta sử dụng công thức vector $\vec{AD’} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA’}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{AD} = \vec{AC} – \vec{AB}$. $\vec{AB} = (1; 2; 3)$, $\vec{AC} = (4; 5; 6)$. $\vec{AD} = (3; 3; 3)$. $\vec{AA’} = (1; 1; 1)$. Do đó $\vec{AD’} = (1+3+1; 2+3+1; 3+3+1) = (4; 4; 4)$. Vì $A(0; 0; 0)$ nên $D'(4; 4; 4)$.
3. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ biết $B(1; 1; 1), C(3; 0; 2), D(2; 1; 5)$ và $A'(0; 2; 3)$. Tìm tọa độ điểm $A$.
A. $A(0; 2; 4)$ B. $A(1; 1; 3)$ C. $A(2; 0; 4)$ D. $A(-1; 2; 4)$
Đáp án đúng: A
Lời giải ngắn gọn: Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$, hay $A+C = B+D$. Tọa độ điểm $A$ là $A = B+D-C$. $A = (1+2-3; 1+1-0; 1+5-2) = (0; 2; 4)$.
4. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A(1; 1; 1), C(3; 3; 3), C'(5; 5; 5)$ và $B(2; 1; 0)$. Tìm tọa độ điểm $B’$.
A. $B'(4; 3; 2)$ B. $B'(3; 3; 2)$ C. $B'(5; 5; 4)$ D. $B'(4; 2; 1)$
Đáp án đúng: A
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\vec{CC’} = C’ – C = (5-3; 5-3; 5-3) = (2; 2; 2)$. Vì $\vec{BB’} = \vec{CC’}$ nên $B’ = B + \vec{CC’} = (2+2; 1+2; 0+2) = (4; 3; 2)$.
5. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A(0; 1; 0), B(2; 0; 0), D(0; 0; 3), A'(1; 1; 1)$. Tìm tọa độ tâm $I$ của hình hộp.
Đáp án: $I(\frac{3}{2}; 0; 2)$
Lời giải ngắn gọn: Tâm $I$ của hình hộp là trung điểm của đường chéo $AC’$.
Bước 1: Tìm $C$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $C = B+D-A = (2+0-0; 0+0-1; 0+3-0) = (2; -1; 3)$.
Bước 2: Tìm $\vec{AA’} = (1; 0; 1)$. Tìm $C’ = C + \vec{AA’} = (2+1; -1+0; 3+1) = (3; -1; 4)$.
Bước 3: $I$ là trung điểm $AC’$. $I = (\frac{0+3}{2}; \frac{1-1}{2}; \frac{0+4}{2}) = (\frac{3}{2}; 0; 2)$.