Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u}=\left(3;-1;-3\right),\vec{w}=\left(6;3;4\right)$. Tính $\vec{v}$ biết $-8\vec{u}-2\vec{v}-4\vec{w}=\vec{0}$
A. $\vec{v}=\left(-24;-2;4\right)$ B. $\vec{v}=\left(-30;-10;-10\right)$ C. $\vec{v}=\left(24;2;-4\right)$ D. $\vec{v}=\left(30;10;10\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán là tìm tọa độ của một vector chưa biết dựa trên mối quan hệ tuyến tính (phép cộng, trừ, nhân vector với một số) với các vector đã cho. Phương pháp giải là sử dụng các quy tắc đại số vector để rút gọn biểu thức, biểu diễn vector cần tìm qua các vector đã biết. Sau đó, thay tọa độ cụ thể của các vector đã biết vào biểu thức để tính toán tọa độ vector kết quả.
Bài toán tương tự
Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u}$ và $\vec{w}$. Tính $\vec{v}$ biết mối quan hệ tuyến tính:
**1. Bài toán 1:** Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=\left(1;2;3\right)$ và $\vec{b}=\left(-2;0;1\right)$. Tìm tọa độ của vector $\vec{v}$ biết $3\vec{a} + \vec{v} – 2\vec{b} = \vec{0}$.
A. $\vec{v}=\left(-7;-6;-7\right)$ B. $\vec{v}=\left(7;6;7\right)$ C. $\vec{v}=\left(-1;2;11\right)$ D. $\vec{v}=\left(1;-2;-11\right)$.
Đáp án đúng: A. $\vec{v}=\left(-7;-6;-7\right)$.
Giải thích: Từ phương trình, ta có $\vec{v} = 2\vec{b} – 3\vec{a}$.
$\vec{v} = 2(-2; 0; 1) – 3(1; 2; 3) = (-4; 0; 2) – (3; 6; 9) = (-7; -6; -7)$.
**2. Bài toán 2:** Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{m}=\left(4;1;-2\right)$ và $\vec{n}=\left(1;-3;5\right)$. Tính vector $\vec{k}$ biết $2\vec{m} + 3\vec{k} + \vec{n} = \vec{0}$.
A. $\vec{k}=\left(-3;1;0\right)$ B. $\vec{k}=\left(9;0;-1\right)$ C. $\vec{k}=\left(-3;\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right)$ D. $\vec{k}=\left(3;-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$.
Đáp án đúng: C. $\vec{k}=\left(-3;\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right)$.
Giải thích: Ta có $3\vec{k} = -2\vec{m} – \vec{n}$.
$-2\vec{m} = (-8; -2; 4)$, $-\vec{n} = (-1; 3; -5)$.
$3\vec{k} = (-8-1; -2+3; 4-5) = (-9; 1; -1)$.
$\vec{k} = \left(-3;\frac{1}{3};-\frac{1}{3}\right)$.
**3. Bài toán 3:** Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u}=\left(2;0;-1\right)$ và $\vec{v}=\left(1;4;3\right)$. Gọi $\vec{x}=\left(x_x; y_x; z_x\right)$ là vector thỏa mãn $5\vec{u} – \vec{x} + 2\vec{v} = 2\vec{u}$. Tính tọa độ $x_x$ của vector $\vec{x}$.
A. $x_x=10$ B. $x_x=8$ C. $x_x=12$ D. $x_x=6$.
Đáp án đúng: B. $x_x=8$.
Giải thích: Rút gọn phương trình: $\vec{x} = 5\vec{u} + 2\vec{v} – 2\vec{u} = 3\vec{u} + 2\vec{v}$.
$\vec{x} = 3(2; 0; -1) + 2(1; 4; 3) = (6; 0; -3) + (2; 8; 6) = (8; 8; 3)$.
Vậy $x_x=8$.
**4. Bài toán 4:** Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=\left(-1;3;2\right)$ và $\vec{b}=\left(2;-2;0\right)$. Tính $\vec{y}$ biết $3(\vec{y} – 2\vec{a}) = 3\vec{b}$.
A. $\vec{y}=\left(0;1;2\right)$ B. $\vec{y}=\left(4;0;4\right)$ C. $\vec{y}=\left(2;2;4\right)$ D. $\vec{y}=\left(1;1;2\right)$.
Đáp án đúng: B. $\vec{y}=\left(4;0;4\right)$.
Giải thích: Chia cả hai vế cho 3: $\vec{y} – 2\vec{a} = \vec{b}$. Suy ra $\vec{y} = 2\vec{a} + \vec{b}$.
$2\vec{a} = 2(-1; 3; 2) = (-2; 6; 4)$.
$\vec{y} = (-2; 6; 4) + (2; -2; 0) = (0; 4; 4)$. (Lưu ý: Đáp án A, B, C, D không khớp. Cần điều chỉnh đáp án hoặc phép tính. Giả sử đáp án là $2\vec{a} + 2\vec{b}$ để ra B).
Nếu đề là $3(\vec{y} – \vec{a}) = 3\vec{b} + 3\vec{a}$: $\vec{y} = 2\vec{a} + \vec{b}$. $\vec{y}=(0; 4; 4)$.
Nếu đề là $\vec{y} = 2\vec{a} + 2\vec{b}$: $2\vec{a}=(-2; 6; 4)$, $2\vec{b}=(4; -4; 0)$. $\vec{y}=(2; 2; 4)$. (Đáp án C).
*Xét lại phép tính ban đầu $\vec{y} = 2\vec{a} + \vec{b} = (0; 4; 4)$. Ta sửa đáp án B thành $\vec{y}=\left(0;4;4\right)$.*
Đáp án đúng: B. $\vec{y}=\left(0;4;4\right)$.
**5. Bài toán 5:** Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u}=\left(2;1;5\right)$ và $\vec{v}=\left(x;y;z\right)$. Biết $2\vec{u} + 3\vec{v} = \left(8;11;1\right)$. Tính tổng $x+y+z$.
A. $x+y+z=4$ B. $x+y+z=1$ C. $x+y+z=\frac{4}{3}$ D. $x+y+z=\frac{1}{3}$.
Đáp án đúng: C. $x+y+z=\frac{4}{3}$.
Giải thích: $3\vec{v} = \left(8;11;1\right) – 2\vec{u}$.
$2\vec{u} = (4; 2; 10)$.
$3\vec{v} = (8-4; 11-2; 1-10) = (4; 9; -9)$.
$\vec{v} = (x; y; z) = \left(\frac{4}{3}; 3; -3\right)$.
Tổng $x+y+z = \frac{4}{3} + 3 + (-3) = \frac{4}{3}$.