Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { – 1\,;\,0\,;\,0} \right)\) và \(B\left( {2\,;\,3\,;\,4} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 4\) và \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y – 2 = 0\). Xét \(M\), \(N\) là hai điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng.

Câu hỏi: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { – 1\,;\,0\,;\,0} \right)\) và \(B\left( {2\,;\,3\,;\,4} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 4\) và \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y – 2 = 0\). Xét \(M\), \(N\) là hai điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) bằng.

A. 5.

B. 3.

C. 6.

D. 4.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

• Xét hệ\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 4\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y – 2 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 2y – 2 = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} & + \,2y – 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x = 0\)

Vậy \(\left( P \right):x = 0\) \(\left( {\left( P \right)} \right.\) chính là mặt phẳng \(\left. {\left( {{\rm{O}}yz} \right)} \right)\).

Gọi \(C\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) và \(D\left( {0\,;\,3\,;\,4} \right)\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\left( { – 1\,;\,0\,;\,0} \right)\) và \(B\left( {2\,;\,3\,;\,4} \right)\)trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Suy ra \(AC = 1\), \(BD = 2\), \(CD = 5\).

• Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \), ta được

\(\begin{array}{l}AM + BN = \sqrt {A{C^2} + C{M^2}} + \sqrt {B{D^2} + D{N^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \sqrt {{{\left( {AC + BD} \right)}^2} + {{\left( {CM + DN} \right)}^2}} \, \ge \sqrt {9 + {{\left( {CM + DN} \right)}^2}} \end{array}\)

Lại có \(CM + MN + ND \ge CD = 5\) nên suy ra \(CM + ND \ge 4\). Do đó \(AM + BN \ge 5\).

Đẳng thức xảy ra khi \(C\), \(M\), \(N\), \(D\) thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\frac{{AC}}{{CM}} = \frac{{BD}}{{DN}}\), tức là \(M\left( {0\,;\,\frac{4}{5}\,;\,\frac{{16}}{{15}}} \right)\) và \(N\left( {0\,;\,\frac{7}{5}\,;\,\frac{{28}}{{15}}} \right)\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) là 5.

=======