Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{4}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x – 2y – 2z – 10 = 0\). Biết đường thẳng \(\Delta \) là hình chiếu vuông góc của \(d\) trên \(\left( P \right)\), đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào sau đây?

Câu hỏi:
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{4}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x – 2y – 2z – 10 = 0\). Biết đường thẳng \(\Delta \) là hình chiếu vuông góc của \(d\) trên \(\left( P \right)\), đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm nào sau đây?

A. \(A\left( {1\;;\; – 2\;;\;3} \right)\).

B. \(B\left( { – 1\;;\;3\;;\;2} \right)\).

C. \(C\left( {0\;;\; – 2\;;\; – 3} \right)\).

D. \(D\left( {2\;;\;1\;;\; – 3} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3\;;\; – 2\;;\; – 2} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2\;;\; – 1\;;\;4} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1\;;\;2\;;\;3} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow a = 6 + 2 – 8 = 0\) và dễ thấy điểm \(M\) không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) do đó đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow \) đường thẳng \(\Delta \) cũng có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2\;;\; – 1\;;\;4} \right)\).

Gọi \({d_1}\) là đường thẳng qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Suy ra đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_1}} = \)\(\overrightarrow n = \left( {3\;;\; – 2\;;\; – 2} \right)\).

Do đó phương trình đường thẳng \({d_1}\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 – 2t\\z = 3 – 2t\end{array} \right.\).

Gọi \(H\) là giao điểm của \({d_1}\) và \(\left( P \right)\). Vì \(H \in {d_1} \Rightarrow H\left( {1 + 3t\;;\;2 – 2t\;;\;3 – 2t} \right)\).

\(H \in \left( P \right) \Leftrightarrow 3\left( {1 + 3t} \right) – 2\left( {2 – 2t} \right) – 2\left( {3 – 2t} \right) – 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3 + 9t – 4 + 4t – 6 + 4t – 10 = 0 \Leftrightarrow 17t – 17 = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

Suy ra \(H\left( {4\;;\;0\;;\;1} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(H\left( {4\;;\;0\;;\;1} \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2\;;\; – 1\;;\;4} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta :\frac{{x – 4}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{4}\).

Dễ thấy đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(D\).

=======