Trong không gian , cho hai điểm \(A\left( {3; – 2;2} \right)\), \(B\left( { – 2;2;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y + 2z – 3 = 0\). Xét các điểm \(M\), \(N\) di động trên \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3N{B^2}\) bằng

Câu hỏi: Trong không gian , cho hai điểm \(A\left( {3; – 2;2} \right)\), \(B\left( { – 2;2;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y + 2z – 3 = 0\). Xét các điểm \(M\), \(N\) di động trên \(\left( P \right)\) sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3N{B^2}\) bằng

A. \(49,8\).

B. \(45\).

C. \(53\).

D. \(55,8\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên .

Khi đó ta có \(AH = {\rm{d}}\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 2 + 2.2 – 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3\),

\(BK = {\rm{d}}\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { – 2} \right) – 2 + 2.0 – 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3\).

Nhận thấy \(A\) và \(B\) nằm khác phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(AH = BK\) nên \(AB\) cắt \(\left( P \right)\) tại trung điểm \(I\) của \(AB\) với \(I\left( {\frac{1}{2};0;1} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IA = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\\AH = 3\end{array} \right. \Rightarrow IH = \sqrt {I{A^2} – A{H^2}} = \frac{3}{2} \Rightarrow HK = 2IH = 3\).

Ta có

\(\begin{array}{l}2M{A^2} + 3N{B^2} = 2\left( {A{H^2} + H{M^2}} \right) + 3\left( {B{K^2} + K{N^2}} \right) = 45 + 2H{M^2} + 3K{N^2}\\\quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; = 45 – \frac{{12}}{5} + \left( {2H{M^2} + 3K{N^2} + \frac{{12}}{5}M{N^2}} \right)\\\quad \quad \quad \quad \quad \;\;\; \ge \frac{{213}}{5} + \frac{1}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{{12}}}}{\left( {HM + MN + NK} \right)^2} \ge \frac{{213}}{5} + \frac{4}{5}K{H^2} = \frac{{249}}{5}\end{array}\).

Bấu bằng xảy ra khi \(2HM = 3KN = \frac{{12}}{5}MN = \frac{{12}}{5}.\)

Vậy \(2M{A^2} + 3N{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{249}}{5} = 49,8\) khi \(2HM = 3KN = \frac{{12}}{5}MN = \frac{{12}}{5}.\)

=======