Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ

Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol, chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ).

Lượng bê tông để đổ cây cầu là $a \mathrm{m}^3$. Tính $a$.
Đáp án: 40

Lời giải: Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ.
Gọi $\left(P_1\right)\colon y=a_1x^2+b_1$ là Parabol đi qua hai điểm $A\left(\dfrac{19}{2};0\right)$, $B(0;2)$.
Khi đó, ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} 0=a_1\cdot\left(\dfrac{19}{2}\right)^2+2\\ 2=b_1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a_1=-\dfrac{8}{361}\\ b_1=2\end{array}\right. \Rightarrow \left(P_1\right)\colon y=-\dfrac{8}{361}x^2+2$.
Gọi $\left(P_2\right)\colon y=a_2x^2+b_2$ là Parabol đi qua hai điểm $C(10;0)$, $D\left(0;\dfrac{5}{2}\right)$.
Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l} 0=a_2\cdot 10^2+\dfrac{5}{2}\\ \dfrac{5}{2}=b_2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a_2=-\dfrac{1}{40}\\ b_2=\dfrac{5}{2}\end{array}\right. \Rightarrow \left(P_2\right)\colon y=-\dfrac{1}{40}x^2+\dfrac{5}{2}$.
Ta có thể tích của bê tông là
$V=5\cdot 2\left[\displaystyle\int\limits_0^{10}\left(-\dfrac{1}{40}x^2+\dfrac{5}{2}\right)\mathrm{d}x-\displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{19}{2}}\left(-\dfrac{8}{361}x^2+2\right)\mathrm{d}x\right]=40\mathrm{m}^3. $
Vậy $a=40$.