Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng \(3\) lần đường kính của đáy, một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính của cốc nướ

C. Người ta thả từ từ vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu.

Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng \(3\) lần đường kính của đáy, một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính của cốc nướ

A. \(\frac{5}{9}\).

B. \(\frac{2}{3}\).

C. \(\frac{1}{2}\).

D. \(\frac{4}{9}\).

Lời giải:

Fb: Dung Thùy

Gọi bán kính đường tròn đáy của hình trụ là \(R\).

Theo giả thiết và hình vẽ thì:

∙ Hình trụ có bán kính đường tròn đáy là \(R\), chiều cao là \(6R\).

∙ Mặt cầu có bán kính là \(R\).

∙ Hình nón có bán kính đường tròn đáy là \(R\), chiều cao là \(4R\).

Thể tích lượng nước ban đầu \(V\) bằng thể tích khối trụ nên \(V = \pi {R^2}.6R\)\( = 6\pi {R^3}\).

Thể tích lượng nước tràn ra \({V_1}\) bằng tổng thể tích khối nón và khối cầu nên

\({V_1} = \frac{1}{3}\pi {R^2}.4R + \frac{4}{3}\pi {R^3}\)\( = \frac{{8\pi {R^3}}}{3}\).

Thể tích lượng nước còn lại trong cốc là \({V_2} = V – {V_1}\) \( = 6\pi {R^3} – \frac{{8\pi {R^3}}}{3}\)\( = \frac{{10\pi {R^3}}}{3}\).

Do đó tỉ số thể tích của lượng nước còn lại và lượng nước ban đầu là:

\(\frac{{{V_2}}}{V} = \frac{{\frac{{10\pi {R^3}}}{3}}}{{6\pi {R^3}}}\)\( = \frac{5}{9}\).

===========

Tương tự Câu 45 BÀI TOÁN THỰC TẾ KHỐI TRÒN XOAY – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024