[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 44:Cho \(F(x) = \frac{{{x^2}}}{4}\) là một nguyên hàm của \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Tìm họ nguyên hàm của \(f’\left( x \right).\ln x\)
\(\frac{{{x^2}}}{2}\left( {\ln x – \frac{1}{2}} \right) + C\).
B. \(\frac{{{x^2}}}{2} + \left( {\ln x + \frac{1}{2}} \right) + C\).
C. \(\frac{{{x^2}}}{2}\left( {\ln x – \frac{1}{{2x}}} \right) + C\).
D. \(\frac{{{x^2}}}{2}\left( {\ln x + \frac{1}{{2x}}} \right) + C\)
Lời giải
Ta có \(F'(x) = {\left( {\frac{{{x^2}}}{4}} \right)^’} = \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \frac{x}{2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} \Rightarrow f’\left( x \right) = x\)
Do đó\[\int {f’\left( x \right)\ln xdx = } \int {x.\ln xdx} \]
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)
Vậy\[\int {f’\left( x \right)\ln xdx = } \int {x.\ln xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x – \int {\frac{{xdx}}{2}} \]
\( = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x – \frac{{{x^2}}}{4} + C = \frac{{{x^2}}}{2}\left( {\ln x – \frac{1}{2}} \right) + C\).