Tổng các nghiệm phương trình \({\log _3}\frac{{{x^2} + x + 3}}{{{x^2} + 2x + 2}} = {x^2} + 3x + 1 + 2{\log _9}2\) có giá trị bằng A. 1. B. 2. C. \( – 3\). D. \( – 1\).

Tổng các nghiệm phương trình \({\log _3}\frac{{{x^2} + x + 3}}{{{x^2} + 2x + 2}} = {x^2} + 3x + 1 + 2{\log _9}2\) có giá trị bằng
A. 1. B. 2. C. \( – 3\). D. \( – 1\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Phương trình: \({\log _3}\frac{{{x^2} + x + 3}}{{{x^2} + 2x + 2}} = {x^2} + 3x + 1 + 2{\log _9}2\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{x^2} + x + 3}}{{{x^2} + 2x + 2}} – {\log _3}2 = \left( {2{x^2} + 4x + 4} \right) – \left( {{x^2} + x + 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{x^2} + x + 3}}{{2{x^2} + 4x + 4}} = \left( {2{x^2} + 4x + 4} \right) – \left( {{x^2} + x + 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + x + 3} \right) + \left( {{x^2} + x + 3} \right) = {\log _3}\left( {2{x^2} + 4x + 4} \right) + \left( {2{x^2} + 4x + 4} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\), \(t > 0\) thì \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 3}} + 1 > 0\), \(\forall t > 0\).
Do đó \(f\left( t \right)\) đồng biến với mọi \(t > 0\), nên phương trình \(f\left( {{x^2} + x + 3} \right) = f\left( {2{x^2} + 4x + 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + x + 3 = 2{x^2} + 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0\).
Phương trình có 2 nghiệm \(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình có giá trị là \( – 3\).