Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { – 2020;2021} \right]\) để bất phương trình \({9^{x – 1}} – 2m{.3^x} – m > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\).
A. \(4041\). B. \(2020\). C. \(4042\). D. \(2021\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
Ta có bất phương trình \({9^{x – 1}} – 2m{.3^x} – m > 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Đặt \(t = {3^x},\,\,t > 0\).
Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(\frac{1}{9}{t^2} – 2mt – m > 0 \Leftrightarrow {t^2} – 18mt – 9m > 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
Đặt \(f\left( t \right) = {t^2} – 18mt – 9m\).
Đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) có đồ thị là một parabol với hệ số \(a > 0\), đỉnh \(I\left( {9m; – 81{m^2} – 9m} \right)\).
Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \) Bất phương trình \(\left( 2 \right)\) nghiệm đúng \(\forall t > 0\)
hay \(f\left( t \right) > 0\,,\,\,\forall t > 0\).
Trường hợp 1: \(m \le 0\).
Ta có bảng biến thiên:
Ta có \(f\left( 0 \right) = – 9m \ge 0\) \( \Rightarrow m \le 0\) thỏa mãn.
Trường hợp 2: \(m > 0\).
Ta có bảng biến thiên:
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta có với \(m > 0\) \( \Rightarrow – 81{m^2} – 9m < 0\), do đó \(m > 0\) không thỏa mãn.
Vậy với \(m \le 0\) thì bất phương trình \({9^{x – 1}} – m{.3^x} + m > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Do đó có 2021 giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { – 2020\,;2021} \right]\) thỏa yêu cầu bài toán.
Trả lời