Tìm \(m\) để phương trình 

\(\left( {m – 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x – 2} \right)^2} + 4\left( {m – 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right) + 4m – 4 = 0\) có nghiệm trên \(\left[ {\frac{5}{2};4} \right]\).

\(\left( {m – 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x – 2} \right)^2} + 4\left( {m – 5} \right){\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right) + 4m – 4 = 0\) có nghiệm trên \(\left[ {\frac{5}{2};4} \right]\).

A. \( – 3 < m \le \frac{7}{3}\). 

B. \(m \in \mathbb{R}\). 

C. \(m \in \left\{ 1 \right\}\). 

D. \( – 3 \le m \le \frac{7}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Cách 1. Tự luận:

Đặt \(t = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 2} \right)\). Do \(x \in \left[ {\frac{5}{2};4} \right]\) nên \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\).

Ta có phương trình: \(4\left( {m – 1} \right){t^2} – 4\left( {m – 5} \right)t + 4m – 4 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {m – 1} \right){t^2} – \left( {m – 5} \right)t + m – 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {{t^2} – t + 1} \right) = {t^2} – 5t + 1\\ \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} – 5t + 1}}{{{t^2} – t + 1}}\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} – 5t + 1}}{{{t^2} – t + 1}}\), với \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\), ta có:

\(f’\left( t \right) = \frac{{4{t^2} – 4}}{{{{\left( {{t^2} – t + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ – 4\left( {1 – {t^2}} \right)}}{{{{\left( {{t^2} – t + 1} \right)}^2}}} \le 0,\,\,\,\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]\)

Suy ra, hàm số nghịch biến đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi đường thẳng \(y = m\) có điểm chung với đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\).

\( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) \le m \le f\left( { – 1} \right) \Leftrightarrow  – 3 \le m \le \frac{7}{3}.\)

Cách 2. Tư duy + casio:

Đặt \(t = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 2} \right)\). Do \(x \in \left[ {\frac{5}{2};4} \right]\) nên \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\).

Ta có phương trình: \(4\left( {m – 1} \right){t^2} – 4\left( {m – 5} \right)t + 4m – 4 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Áp dụng kĩ thuật CALC:

Cho \(t = 100 \to m = \frac{{9501}}{{9901}} = \frac{{{t^2} – 5t + 1}}{{{t^2} – t + 1}} = \frac{{\log _{_{\frac{1}{2}}}^2\left( {x – 2} \right) – 5{{\log }_{_{\frac{1}{2}}}}\left( {x – 2} \right) + 1}}{{\log _{_{\frac{1}{2}}}^2\left( {x – 2} \right) – {{\log }_{_{\frac{1}{2}}}}\left( {x – 2} \right) + 1}}\).

Nhập cả biểu thức vào bảng giá trị, trên đoạn \(\left[ {\frac{5}{2};4} \right]\) và kiểm tra kết quả đúng nhất.

Vậy: \( – 3 \le m \le \frac{7}{3}.\)