Bài toán gốc
Tìm $\int{10\sin 8x.\sin (-3x)\text{d}x}$
A. $\dfrac{5}{11}\sin 11x-\sin 5x+C$
B. $-5\cos 11x-5\cos 5x+C$
C. $-\dfrac{10}{11}\cos 11x-2\cos 5x+C$
D. $-\dfrac{5}{11}\sin 11x-\sin 5x+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm nguyên hàm của tích hai hàm số lượng giác cơ bản, $k ext{sin}(ax) ext{sin}(bx)$. Phương pháp giải là sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng (hay tích thành hiệu) để đưa về tổng/hiệu của các hàm $ ext{cos}(cx)$ hoặc $ ext{sin}(cx)$, sau đó áp dụng công thức tích phân cơ bản $\int ext{cos}(ax) ext{d}x = \frac{1}{a} ext{sin}(ax) + C$ hoặc $\int ext{sin}(ax) ext{d}x = -\frac{1}{a} ext{cos}(ax) + C$. Cụ thể, ta sử dụng công thức: $\sin A ext{sin} B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) – \cos(A+B)]$. Lưu ý dấu của hàm lượng giác khi biến đổi.
Bài toán tương tự
1.
**Câu 1:** Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 6\cos 5x \cos 2x$.
**A.** $\dfrac{3}{7}\sin 7x + \sin 3x + C$
**B.** $\dfrac{3}{7}\cos 7x + \cos 3x + C$
**C.** $\dfrac{6}{7}\sin 7x + 2\sin 3x + C$
**D.** $\dfrac{6}{7}\cos 7x + 2\cos 3x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$. Ta có: $I = \int 6 \cdot \frac{1}{2} [\cos 7x + \cos 3x] \text{d}x = 3\int (\cos 7x + \cos 3x) \text{d}x = 3\left( \frac{\sin 7x}{7} + \frac{\sin 3x}{3} \right) + C = \dfrac{3}{7}\sin 7x + \sin 3x + C$.
2.
**Câu 2:** Tính tích phân $I = \int 4\sin 7x \cos x \text{d}x$.
**A.** $-\dfrac{1}{4}\cos 8x – \dfrac{1}{3}\cos 6x + C$
**B.** $\dfrac{1}{2}\cos 8x + \dfrac{1}{3}\cos 6x + C$
**C.** $-\dfrac{1}{2}\cos 8x – \dfrac{1}{3}\cos 6x + C$
**D.** $\dfrac{1}{4}\sin 8x + \dfrac{1}{3}\sin 6x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$. Ta có: $I = \int 4 \cdot \frac{1}{2} [\sin 8x + \sin 6x] \text{d}x = 2\int (\sin 8x + \sin 6x) \text{d}x = 2\left( -\frac{\cos 8x}{8} – \frac{\cos 6x}{6} \right) + C = -\frac{1}{4}\cos 8x – \frac{1}{3}\cos 6x + C$.
3.
**Câu 3:** Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = -8\sin 3x \sin x$.
**A.** $2\sin 4x – 4\sin 2x + C$
**B.** $\sin 4x – 2\sin 2x + C$
**C.** $4\cos 4x + 2\cos 2x + C$
**D.** $-2\sin 4x + 4\sin 2x + C$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) – \cos(A+B)]$. Ta có: $I = \int -8 \cdot \frac{1}{2} [\cos 2x – \cos 4x] \text{d}x = 4\int (\cos 4x – \cos 2x) \text{d}x = 4\left( \frac{\sin 4x}{4} – \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \sin 4x – 2\sin 2x + C$.
4.
**Câu 4:** Tính $I = \int 12\sin 10x \cos 2x \text{d}x$.
**A.** $-\dfrac{1}{2}\cos 12x – \dfrac{3}{4}\cos 8x + C$
**B.** $-\cos 12x – \cos 8x + C$
**C.** $\dfrac{1}{2}\sin 12x + \dfrac{3}{4}\sin 8x + C$
**D.** $-2\cos 12x – 3\cos 8x + C$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$. Ta có: $I = \int 12 \cdot \frac{1}{2} [\sin 12x + \sin 8x] \text{d}x = 6\int (\sin 12x + \sin 8x) \text{d}x = 6\left( -\frac{\cos 12x}{12} – \frac{\cos 8x}{8} \right) + C = -\frac{1}{2}\cos 12x – \frac{3}{4}\cos 8x + C$.
5.
**Câu 5:** Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2\cos 6x \cos 3x$.
**A.** $\dfrac{2}{9}\sin 9x + \dfrac{2}{3}\sin 3x + C$
**B.** $\dfrac{1}{9}\cos 9x + \dfrac{1}{3}\cos 3x + C$
**C.** $\dfrac{1}{9}\sin 9x + \dfrac{1}{3}\sin 3x + C$
**D.** $-\dfrac{1}{9}\cos 9x – \dfrac{1}{3}\cos 3x + C$
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$. Ta có: $I = \int 2 \cdot \frac{1}{2} [\cos 9x + \cos 3x] \text{d}x = \int (\cos 9x + \cos 3x) \text{d}x = \frac{\sin 9x}{9} + \frac{\sin 3x}{3} + C$.