Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-3;2]$ có bảng biến thiên như hình dưới đây

Bài toán gốc

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-3;2]$ có bảng biến thiên như hình dưới đây

A. 2.

B. 0.

C. 4.

D. 20.

Lời giải: $y=f(x)=-x^3+3x+2$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn đóng $[a; b]$. Phương pháp giải chung là sử dụng đạo hàm để tìm các điểm cực trị trong đoạn đó, sau đó tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị tìm được và tại hai mút của đoạn $[a; b]$. GTNN (hoặc GTLN) chính là giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) trong số các giá trị đã tính.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(x) = x^3 – 3x^2 + 2$ trên đoạn $[-1; 1]$.

A. 2.
B. -2.
C. 0.
D. 1.

Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn:
Bước 1: Tính đạo hàm $g'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)$.
Bước 2: Tìm nghiệm của $g'(x) = 0$ là $x = 0$ và $x = 2$.
Bước 3: Chỉ xét các điểm thuộc đoạn $[-1; 1]$. Điểm $x=2$ loại. Xét $x=0$ và các mút $x=-1, x=1$.
Bước 4: Tính giá trị:
$g(-1) = (-1)^3 – 3(-1)^2 + 2 = -1 – 3 + 2 = -2$.
$g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2$.
$g(1) = 1^3 – 3(1)^2 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0$.
So sánh các giá trị $\{-2, 2, 0\}$, giá trị lớn nhất là 2.