Bài toán gốc
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{-x+2}{-3x+3}$ trên $[4;2027]$.
A. $-\dfrac{1}{9}$.
B. $\dfrac{1}{3}$.
C. $\dfrac{2}{9}$.
D. $\dfrac{5}{9}$.
Lời giải: Hạn chế máy tính
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhất biến (dạng $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$) trên một đoạn $[a; b]$. Phương pháp giải dựa trên tính đơn điệu của hàm số này. Hàm số nhất biến luôn đơn điệu (hoặc đồng biến hoặc nghịch biến) trên các khoảng xác định của nó. Do đó, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu hàm số xác định trên đoạn đó) luôn đạt được tại hai mút của đoạn $[a; b]$. Cụ thể, ta cần tính đạo hàm $y’$ để xác định tính đơn điệu. Nếu $y’>0$, hàm đồng biến; nếu $y'<0$, hàm nghịch biến. Giá trị nhỏ nhất sẽ là $y(a)$ hoặc $y(b)$ tùy thuộc vào tính đơn điệu.
Bài toán tương tự
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \dfrac{x+5}{x-2}$ trên đoạn $[3; 9]$.
A. 8.
B. $\dfrac{7}{4}$.
C. 10.
D. $\dfrac{14}{7}$.
Đáp án đúng: A. 8.
Lời giải ngắn gọn: Hàm số đã cho có đạo hàm $y’ = \dfrac{1(-2) – 1(5)}{(x-2)^2} = \dfrac{-7}{(x-2)^2}$. Do $y’ < 0$ với mọi $x \in [3; 9]$, hàm số nghịch biến trên đoạn $[3; 9]$. Vì hàm số nghịch biến, giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại mút trái $x=3$. Ta có: $y(3) = \dfrac{3+5}{3-2} = \dfrac{8}{1} = 8$. Giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=9$: $y(9) = \dfrac{9+5}{9-2} = \dfrac{14}{7} = 2$. Vậy $\max y = 8$.