Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-x^3+3x+2$ trên $[-2;2]$

Bài toán gốc

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-x^3+3x+2$ trên $[-2;2]$.

A. 0.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (GTLN/GTNN) của hàm số đa thức trên một đoạn đóng (tức là tập xác định là một đoạn [a; b]). Phương pháp giải chuẩn là sử dụng đạo hàm:
1. Tính đạo hàm y’ và tìm các điểm cực trị (nghiệm của y’=0) thuộc đoạn [a; b].
2. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị vừa tìm được và tại hai đầu mút của đoạn (a và b).
3. So sánh các giá trị vừa tính để tìm ra giá trị nhỏ nhất (min).

Bài toán tương tự

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 5$ trên đoạn $[-1; 4]$.
A. GTNN là -27, GTLN là 5.
B. GTNN là -27, GTLN là 0.
C. GTNN là 5, GTLN là 37.
D. GTNN là -26, GTLN là 5.

Đáp án đúng: A. GTNN là -27, GTLN là 5.
Lời giải ngắn gọn:
1. Tính đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 12x = 3x(x-4)$.
2. Nghiệm của $y’=0$ là $x=0$ và $x=4$. Cả hai nghiệm đều thuộc đoạn $[-1; 4]$.
3. Tính giá trị hàm số tại các điểm $x=-1, x=0, x=4$.
$y(-1) = (-1)^3 – 6(-1)^2 + 5 = -1 – 6 + 5 = -2$.
$y(0) = 0 – 0 + 5 = 5$.
$y(4) = (4)^3 – 6(4)^2 + 5 = 64 – 6(16) + 5 = 64 – 96 + 5 = -27$.
4. So sánh các giá trị: $\{-2, 5, -27\}$.
GTNN là -27; GTLN là 5.