Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x \sqrt{225 – x^2}$

Bài toán gốc

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x \sqrt{225 – x^2}$

A. $\max\limits_{\left[-15; 15\right]} f(x) = \dfrac{225}{2}$; $\min\limits_{\left[ -15; 15 \right]} f(x) = – \dfrac{225}{2}$.

B. $\max\limits_{\left[-15; 15 \right]} f(x) = 0$; $\min\limits_{\left[ -15; 15 \right]} f(x) = – \dfrac{225}{2}$.

C. $\max\limits_{\left[-15; 15 \right]} f(x) = 15$; $\min\limits_{\left[ -15; 15 \right]} f(x) = 2$.

D. $\max\limits_{\left[-15; 15 \right]} f(x) = \dfrac{225}{2}$; $\min\limits_{\left[ -15; 15 \right]} f(x) = 0$.

Lời giải: Ta có điều kiện xác định là $225 – x^2 \geq 0 \Rightarrow -15 \leq x \leq 15$.
Trên đoạn $[-15; 15]$ ta có $f^{\prime}(x) = – \dfrac{x^{2}}{\sqrt{225 – x^{2}}} + \sqrt{225 – x^{2}}$.
Giải phương trình $f^{\prime}(x) = 0$ ta được nghiệm: $x =- \dfrac{15 \sqrt{2}}{2}$, $x =\dfrac{15 \sqrt{2}}{2}$.
$\bullet$ Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{225}{2}$ tại $x = \dfrac{15 \sqrt{2}}{2}$
$\bullet$ Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $- \dfrac{225}{2}$ tại $x = – \dfrac{15 \sqrt{2}}{2}$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn đóng. Phương pháp giải truyền thống là sử dụng đạo hàm:1. Tìm điều kiện xác định (miền D).2. Tính đạo hàm $f'(x)$.3. Tìm các điểm cực trị (nghiệm của $f'(x) = 0$).4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị thuộc miền D và tại các mút của đoạn.5. So sánh các giá trị tìm được để kết luận GTLN và GTNN.Đối với hàm số dạng $f(x) = x\sqrt{A^2 – x^2}$, GTLN và GTNN thường đạt được tại các điểm cực trị $x = \pm \dfrac{A}{\sqrt{2}}$.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x \sqrt{100 – x^2}$.A. $\max f(x) = 10$; $\min f(x) = -10$.B. $\max f(x) = 0$; $\min f(x) = -50$.C. $\max f(x) = 50$; $\min f(x) = -50$.D. $\max f(x) = 50$; $\min f(x) = 0$.Đáp án đúng: C.Lời giải ngắn gọn:Điều kiện xác định: $100 – x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-10; 10]$.Tính đạo hàm: $f'(x) = \dfrac{100 – 2x^2}{\sqrt{100 – x^2}}$.Cho $f'(x) = 0 \Rightarrow 100 – 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 50 \Rightarrow x = \pm 5\sqrt{2}$.Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị và mút:$f(10) = 0$; $f(-10) = 0$.$f(5\sqrt{2}) = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{100 – 50} = 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 50$.$f(-5\sqrt{2}) = -5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = -50$.Vậy $\max f(x) = 50$ và $\min f(x) = -50$.