Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^3+3x^2+1$ trên $[-3;2]$.

Bài toán gốc

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=x^3+3x^2+1$ trên $[-3;2]$.

A. 5.

B. 21.

C. 23.

D. 1.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số liên tục trên một đoạn đóng. Phương pháp giải là: Tính đạo hàm $f'(x)$, tìm các nghiệm (điểm cực trị) của phương trình $f'(x)=0$ thuộc đoạn đã cho. Sau đó, tính giá trị của hàm số $f(x)$ tại các điểm cực trị này và tại hai mút của đoạn. GTLN là giá trị lớn nhất trong số các giá trị đã tính được.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = x^3 – 6x^2 + 5$ trên đoạn $[1; 5]$.

Đáp án: -27.

Lời giải ngắn gọn:
1. Tính đạo hàm: $f'(x) = 3x^2 – 12x = 3x(x – 4)$.
2. Tìm điểm cực trị: $f'(x)=0 \implies x=0$ (Loại vì $0 \notin [1; 5]$) hoặc $x=4$ (Thuộc $[1; 5]$).
3. Tính giá trị tại các điểm cần xét: $x=1, x=4, x=5$.
$f(1) = 1^3 – 6(1)^2 + 5 = 0$.
$f(4) = 4^3 – 6(4)^2 + 5 = 64 – 96 + 5 = -27$.
$f(5) = 5^3 – 6(5)^2 + 5 = 125 – 150 + 5 = -20$.
4. So sánh: $\min\{0, -27, -20\} = -27$. Vậy giá trị nhỏ nhất là -27.