Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = 3 + 3x – e^x$ trên đoạn $[0; 5]$

Bài toán gốc

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = 3 + 3x – e^x$ trên đoạn $[0; 5]$

A. $\max\limits_{\left[0; 5\right]} f(x) = 18 – e^{5}$.

B. $\max\limits_{\left[0; 5\right]} f(x) = \ln{\left(27 \right)}$.

C. $\max\limits_{\left[0; 5\right]} f(x) = 15$.

D. $\max\limits_{\left[0; 5\right]} f(x) = 3\sqrt{5}$.

Lời giải: Trên đoạn $[0; 5]$ ta có $f^{\prime}(x) = 3 – e^{x}$.
Giải phương trình $f^{\prime}(x) = 0$ ta được nghiệm: $x = \ln{\left(3 \right)}$.
Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\ln{\left(27 \right)}$ tại $x = \ln{\left(3 \right)}$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số liên tục và khả vi trên một đoạn đóng (dạng [a; b]). Phương pháp giải chuẩn là: 1. Tính đạo hàm f'(x). 2. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các nghiệm x_i là điểm cực trị nằm trong đoạn [a; b]. 3. Tính và so sánh các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị x_i và tại hai mút của đoạn (f(a) và f(b)). Giá trị lớn nhất trong số các kết quả này là GTLN cần tìm.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(x) = 5 + 5x – e^x$ trên đoạn $[0; 2]$.

A. $\max\limits_{\left[0; 2\right]} g(x) = 5\ln 5$.

B. $\max\limits_{\left[0; 2\right]} g(x) = 15 – e^{2}$.

C. $\max\limits_{\left[0; 2\right]} g(x) = 4$.

D. $\max\limits_{\left[0; 2\right]} g(x) = 5\sqrt{e}$.

Đáp án đúng: A. $\max\limits_{\left[0; 2\right]} g(x) = 5\ln 5$.

Lời giải ngắn gọn: Trên đoạn $[0; 2]$, ta có $g'(x) = 5 – e^x$. Giải phương trình $g'(x) = 0$ ta được $e^x = 5$, suy ra $x = \ln 5$. Vì $1 < \ln 5 \approx 1.6 < 2$, nên \ln 5 nằm trong đoạn $[0; 2]$. Ta tính các giá trị:
$g(0) = 5 + 0 – e^0 = 4$.
$g(2) = 5 + 5(2) – e^2 = 15 – e^2$. (Vì $e^2 \approx 7.39$, nên $g(2) \approx 7.61$)
$g(\ln 5) = 5 + 5(\ln 5) – e^{\ln 5} = 5 + 5\ln 5 – 5 = 5\ln 5$. (Vì $\ln 5 \approx 1.609$, nên $5\ln 5 \approx 8.045$)
So sánh các giá trị: $8.045 > 7.61 > 4$. Vậy GTLN là $5\ln 5$.