(THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh – 2022) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là điểm di động trên cạnh \(AB\) và \(N\) là trung điểm \(SD\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M,\,N\) và song song \(BC\) chia khối chóp thành hai khối có tỉ lệ thể tích \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{5}\), trong đó \({V_1}\) là thể tích khối đa diện chứa đỉnh \(A\), \({V_2}\) là thể tích khối đa diện chứa đỉnh \(B\). Tỉ số \(\frac{{AM}}{{AB}}\) bằng

Câu hỏi:

A. \(\frac{1}{3}\).

B. \(\frac{1}{2}\).

C. \(\frac{3}{5}\).

D. \(\frac{3}{7}\).

Lời giải:

Chọn C

+) Đặt \(\frac{{AM}}{{AB}} = x\). Kẻ \(MP{\rm{//}}\,BC;\,\,\,NQ{\rm{//}}AD\).

\( \Rightarrow \left( \alpha \right)\) cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang \(MPNQ\).

+) Đặt \(S\) là diện tích \(ABCD\); \(h\) là chiều cao của \(S.ABCD\).

Diện tích \(AMPD\): \({S_{AMPD}} = x.S\)

\(d\left( {Q;\,\left( {AMPD} \right)} \right) = \frac{1}{2}h\).

+) Thể tích \(Q.AMPD\): \({V_{Q.AMPD}} = \frac{1}{3}d\left( {Q;\,\left( {AMPD} \right)} \right).{S_{AMPD}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}h.xS = \frac{1}{2}x.\frac{{hS}}{3} = \frac{1}{2}x.V\)

(\(V\) là thể tích \(S.ABCD\)).

+) Lại có \({V_{S.ACD}} = \frac{1}{2}V\)\( \Rightarrow d\left( {A;\,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{\Delta SCD}}}} = \frac{{\frac{3}{2}V}}{{{S_{\Delta SCD}}}}\).

Vì \(Q\) là trung điểm \(SA\) nên \(d\left( {Q;\,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{\frac{3}{4}V}}{{{S_{\Delta SCD}}}}\)

Diện tích \(\Delta DPN\): \({S_{\Delta DPN}} = \frac{1}{2}DN.DP.\sin \widehat {NDP} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}DS.xDC.\,\sin \,\widehat {NDP}\)\( = \frac{x}{2}.{S_{\Delta SCD}}\).

Thể tích \(Q.PDN\): \({V_{Q.PDN}} = \frac{1}{3}{\rm{d}}\left( {Q;\,\left( {SCD} \right)} \right).{S_{\Delta DPN}} = \frac{1}{3}.\frac{{\frac{3}{4}V}}{{{S_{\Delta SCD}}}}.\frac{x}{2}.{S_{\Delta SCD}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{4}V.\frac{x}{2} = \frac{{xV}}{8}\).

\( \Rightarrow {V_1} = {V_{Q.ANPD}} + {V_{Q.PND}} = \frac{{xV}}{2} + \frac{{xV}}{8} = \frac{{5xV}}{8}\).

\({V_2} = V – {V_1} = V – \frac{{5x}}{8}V = \left( {1 – \frac{{5x}}{8}} \right)V\).

Theo giả thiết: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{5x}}{8}V}}{{\left( {1 – \frac{{5x}}{8}} \right)V}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \frac{{5x}}{8} = \frac{3}{5}\left( {1 – \frac{{5x}}{8}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{8}{5}.\frac{{5x}}{8} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow x = \frac{3}{5}\).

Vậy \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{3}{5}\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện