(THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – 2022) Cho hình chóp \(S.ABCD\), có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuống góc với mặt đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SD\) bằng \(\frac{{2a\sqrt {21} }}{7}.\) Thế tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
A. \(\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
B. \(\frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
C. \(\frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải:
Chọn B
Đặt \(AB = 2x\), gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) từ giả thiết bài toán ta có được \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SH = x\sqrt 3 \).
Ta có \(AB{\rm{//}}CD\) do đó \(AB{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\) vì vậy \(d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right)\) \( = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot CD\\SH \bot CD\end{array} \right.\) do đó \(CD \bot \left( {SHI} \right)\), kẻ \(HK \bot SI\) ta được \(HK \bot \left( {SCD} \right)\) vì vậy \(d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK\).
Ta lại có \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{S^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{3{x^2}}} + \frac{1}{{4{x^2}}} = \frac{7}{{12{x^2}}}\) suy ra \(HK = \frac{{2\sqrt {21} x}}{7} = \frac{{2\sqrt {21} a}}{7}\).
Từ đây ta suy ra \(x = a\).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .4{a^2} = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện
Trả lời