(THPT Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – 2022) Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\)là tam giác đều. Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi \(A’B\) với mặt phẳng \(\left( {ACC’A’} \right)\) và \(\beta \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {A’BC’} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ACC’A’} \right)\). Biết \({\cot ^2}\alpha – {\cot ^2}\beta = \frac{m}{n}\) (với \(m,n \in {{\rm{N}}^*}\) và phân số \(\frac{m}{n}\) tối giản). Khi đó, giá trị của biểu thức \(T = m + 2n\) bằng
A. \(3\).
B. \(5\).
C. \(7\).
D. \(9\).
Lời giải:
Chọn C
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\) dễ thấy \(BH \bot \left( {ACC’A’} \right)\) và \(\left( {BA’\,,\,\left( {ACC’A’} \right)} \right) = \widehat {BA’H} = \alpha \) và \(\left( {\left( {A’BC’} \right)\,,\,\left( {ACC’A’} \right)} \right) = \widehat {BIH} = \beta \).
Gọi \(AC = a\), \(AA’ = x\).
Ta có \({\cot ^2}\alpha – {\cot ^2}\beta = {\left( {\frac{{HA’}}{{BH}}} \right)^2} – {\left( {\frac{{HI}}{{BH}}} \right)^2}\)
\( = {\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} }}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}} \right)^2} – {\left( {\frac{x}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}} \right)^2}\)\( = \frac{{4{x^2} + {a^2}}}{{3{a^2}}} – \frac{{4{x^2}}}{{3{a^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{3{a^2}}}\)\( = \frac{1}{3}\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 3\end{array} \right.\). Vậy \(T = m + 2n = 1 + 2.3 = 7.\)
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện
Trả lời