(THPT Trần Phú – Hà Tĩnh – 2022) Cho khối chóp \(S \cdot ABCD\), có đáy là hình chứ nhật cạnh \(AB = 2a\sqrt 5 \) và tất cả các cạnh bên của hình chóp bằng \(5a\). Thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho bằng

Câu hỏi:

A. \(\frac{{20{a^3}\sqrt 5 }}{3}\).

B. \(\frac{{8{a^3}}}{3}\).

C. \(\frac{{40\sqrt 5 {a^3}}}{3}\).

D. \(15\sqrt 5 {a^3}\).

Lời giải:

Đặt \(AD = x,(x > 0)\) khi đó bán kinh đường tròn ngoại tiếp đáy là \({R_d} = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {20{a^2} + {x^2}} }}{2}\). Chiều cao khối chóp là \(h = \sqrt {c{b^2} – R_d^2} = \sqrt {25{a^2} – \frac{{20{a^2} + {x^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {80{a^2} – {x^2}} \).

Thể tích khối chóp là \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt 5 a \cdot x \cdot \frac{1}{2}\sqrt {80{a^2} – {x^2}} = \frac{{\sqrt 5 a\sqrt {{x^2}\left( {80{a^2} – {x^2}} \right)} }}{3} \le \frac{{\sqrt 5 a\left( {\frac{{{x^2} + 80{a^2} – {x^2}}}{2}} \right)}}{3} = \frac{{40\sqrt 5 {a^3}}}{3}\).

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện