(THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN) Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC = 2a\)và \(AA’ = a\) (tham khảo hình vẽ bên). Tính khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng \(AB’,\)\(A’C\).
A. \(d = \frac{{2a}}{3}\).
B. \(d = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\).
C. \(d = \frac{{\sqrt 2 a}}{3}\).
D. \(d = \frac{{3a}}{2}\).
Lời giải:
Chọn A
Không mất tính tổng quát, ta chọn hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\), như hình vẽ.
Chọn \(a = 1\), khi đó \(A’\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(B’\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\), \(A\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\), \(C\left( {2\,;\,0\,;\,1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB’} = \left( {0\,;\,1\,;\, – 1} \right)\); \(\overrightarrow {A’C} = \left( {2\,;\,0\,;\,1} \right)\),\(\overrightarrow {A’A} = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB’} ,\overrightarrow {A’C} } \right] = \left( {1\,;\, – 2\,;\, – 2} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB’} ,\overrightarrow {A’C} } \right].\overrightarrow {A’A} = – 2\).
Khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng \(AB’\), \(A’C\) là:
\(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB’} ,\overrightarrow {A’C} } \right].\overrightarrow {A’A} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB’} ,\overrightarrow {A’C} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| { – 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện
Trả lời