Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$.Một điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ và một điểm $N$ thuộc cạnh $CD$ sao cho : $\frac{AM}{AB}=\frac{DN}{DC}=k $$a.$ Chứng minh ba đường thẳng $BC,MN,AD$ luôn song song với một mặt phẳng cố định khi $k$ thay đổi$b.$ Một điểm $P$ trên $BD$ và một điểm $Q$ trên $AC$ sao cho […]
Quan he song song
Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh $SA$ vuông góc với đáy. Độ dài các cạnh $AB = a; AD = b; SA = 2a$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $SA.$Mặt phẳng ($MBC$) cắt hình chóp theo thiết diện gì? Tính diện tích thiết diện đó
Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh $SA$ vuông góc với đáy. Độ dài các cạnh $AB = a; AD = b; SA = 2a$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $SA.$Mặt phẳng ($MBC$) cắt hình chóp theo thiết diện gì? Tính diện tích thiết diện đó […]
Đề bài: Cho ba tia $Oa, Ob, Oc$ không cùng nằm trên một mặt phẳng; trên tia $Oa$ lấy $2$ điểm $A, A'$; trên tia $Ob$ lấy $2$ điểm $B, B'$; trên tia $Oc$ lấy $2$ điểm $C, C'$ sao cho $AB$ cắt $A'B'$ tại $D$, $BC$ cắt $B'C'$ tại $E$; $CA$ cắt $C'A'$ tại $G$. Chứng minh $D, E ,G$ thẳng hàng.
Đề bài: Cho ba tia $Oa, Ob, Oc$ không cùng nằm trên một mặt phẳng; trên tia $Oa$ lấy $2$ điểm $A, A'$; trên tia $Ob$ lấy $2$ điểm $B, B'$; trên tia $Oc$ lấy $2$ điểm $C, C'$ sao cho $AB$ cắt $A'B'$ tại $D$, $BC$ cắt $B'C'$ tại $E$; $CA$ cắt $C'A'$ tại […]
Đề bài: Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$.Hãy xác định thiết diện của lăng trụ với một mặt phẳng $(P)$ đi qua các điểm $M,N,P$ thuộc ba mặt bên
Đề bài: Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$.Hãy xác định thiết diện của lăng trụ với một mặt phẳng $(P)$ đi qua các điểm $M,N,P$ thuộc ba mặt bên Lời giải Giả sử ta cần dựng thiết diện của lăng trụ $ABC.A’B’C’$ khi cắt bởi mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm$M\in (ABB’A’)$$N\in (BCC’B’)$$P\in (CAA’C’)$Qua […]
Đề bài: Cho chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SA\bot (ABCD);SA=a$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $CD$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$. Đặt $AM=x$. Tứ giác $MNCD$ là hình gì ? Tính diện tích tứ giác đó theo $a,x$
Đề bài: Cho chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SA\bot (ABCD);SA=a$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $CD$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$. Đặt $AM=x$. Tứ giác $MNCD$ là hình gì ? Tính diện tích tứ giác đó theo $a,x$ Lời giải Ta có : $DC//AB\Rightarrow DC//(SAB)$$\Rightarrow mp(MDC)\cap mp(SAB)=MN//AB$.Lại có $MN\bot (SAD)$.Suy […]
Đề bài: Cho hình hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$$a.$ Chứng minh rằng $(BDA_1)//(B_1D_1C)$$b.$ Chứng minh đường chéo $AC_1$ đi qua các trọng tâm $G,G_1$ của $\Delta A_1BD$ và $\Delta CB_1D_1,G,G_1$ chia đoạn $AC_1$ làm $3$ phần bằng nhau.$c.$ Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng $(A_1B_1G_1)$ với hình hộp đã cho. Thiết diện là hình gì ?$d.$ Gọi $O,K$ lần lượt là tâm các hình bình hành $ABCD,BCC_1B_1$. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng $(A_1OK)$ với hình hộp đã cho
Đề bài: Cho hình hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$$a.$ Chứng minh rằng $(BDA_1)//(B_1D_1C)$$b.$ Chứng minh đường chéo $AC_1$ đi qua các trọng tâm $G,G_1$ của $\Delta A_1BD$ và $\Delta CB_1D_1,G,G_1$ chia đoạn $AC_1$ làm $3$ phần bằng nhau.$c.$ Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng $(A_1B_1G_1)$ với hình hộp đã cho. Thiết diện là hình gì ?$d.$ […]
Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AB=3a,AD=CD=a$. Mặt bên $(SAB) $ là tam giác cân đỉnh $S$ với $SA=2a,\alpha$ là mặt phẳng di động song song với $(SAB)$ cắt các cạnh $AD,BC,SC,SD$ theo thứ tự tại $M,N,P,Q$$a.$ Chứng minh $MNPQ$ là hình thang cân$b.$ Đặt $x=AM$ với $0
Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AB=3a,AD=CD=a$. Mặt bên $(SAB) $ là tam giác cân đỉnh $S$ với $SA=2a,\alpha$ là mặt phẳng di động song song với $(SAB)$ cắt các cạnh $AD,BC,SC,SD$ theo thứ tự tại $M,N,P,Q$$a.$ Chứng minh $MNPQ$ là hình thang cân$b.$ Đặt $x=AM$ với $0 […]
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCDA'B'C'D'$ và $R\in A'D', N\in BC, Q\in C'D'$.a) Tìm giao điểm $I, K$ của đường thẳng $RQ$ với mp $(ABB'A')$ mp $(BCC'B')$.b) Tìm giao điểm $P, J$ của đường thẳng $NK$ với mp $(CDD'C')$ và mp $(ABB'A')$c) Tìm giao điểm $S, M$ của đường thẳng $IJ$ với mp $(ADD'A')$ và mp $(ACBD)$.d) Tìm giao tuyến của mp $(NQR)$ với các mặt của hình lập phương .e) Tìm thiết diện do mp $(NQR)$ cắt hình lập phương.
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCDA'B'C'D'$ và $R\in A'D', N\in BC, Q\in C'D'$.a) Tìm giao điểm $I, K$ của đường thẳng $RQ$ với mp $(ABB'A')$ mp $(BCC'B')$.b) Tìm giao điểm $P, J$ của đường thẳng $NK$ với mp $(CDD'C')$ và mp $(ABB'A')$c) Tìm giao điểm $S, M$ của đường thẳng $IJ$ với mp $(ADD'A')$ […]
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$. Giả sử $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, DD'$a) Chứng minh rằng $MN//mp(A'BD)$B) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN, BD$
Đề bài: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $a$. Giả sử $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, DD'$a) Chứng minh rằng $MN//mp(A'BD)$B) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN, BD$ Lời giải a) Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau: Gốc $O\equiv A$ Trục $Ox$ đi qua […]
Đề bài: Cho bốn điểm $O,A,B,C$ không đồng phẳng và bốn điểm $A',B',C',S$ được xác định bởi các hệ thức :$\overrightarrow {OA'}=\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC} $$\overrightarrow {OB'}=\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OA} $$\overrightarrow {OC'}=\overrightarrow {OA} +\overrightarrow {OB} $$\overrightarrow {OS}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB} +\overrightarrow {OC} $$a.$ Chứng minh các điểm sau đây đồng phẳng- Bốn điểm $A,C',S,B'$- Bốn điểm $C,B',S,A'$- Bốn điểm $B,C',S,A'$$b.$ Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng $(OBA'C), (AC'SB')$$(OAC'B), (CB'SA')$$(OAB'C), (BC'SA')$$c.$ Chứng minh hệ thức$\overrightarrow {AS}=\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC}-2\overrightarrow {AO} $$d.$ Gọi $G$ là giao điểm của $SO$ với $mp(ABC)$.Đặt $\overrightarrow {OG}=k.\overrightarrow {OS} $.Biểu diễn véctơ $\overrightarrow {OG} $ theo các véctơ $\overrightarrow {OA},\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC},k $.Chứng tỏ $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$$e.$ Chứng minh hai mặt phẳng $(ABC),(A'B'C')$ song song
Đề bài: Cho bốn điểm $O,A,B,C$ không đồng phẳng và bốn điểm $A',B',C',S$ được xác định bởi các hệ thức :$\overrightarrow {OA'}=\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC} $$\overrightarrow {OB'}=\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OA} $$\overrightarrow {OC'}=\overrightarrow {OA} +\overrightarrow {OB} $$\overrightarrow {OS}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB} +\overrightarrow {OC} $$a.$ Chứng minh các điểm sau đây đồng phẳng- Bốn điểm $A,C',S,B'$- Bốn điểm $C,B',S,A'$- Bốn […]