Bất đẳng thức Côsi

Đề bài: 1)    Với $x \in [ - 1;1] $,   chứng minh $\sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \le 2$2)    Tìm miền giá trị của   $y=\sin^{2n}x+\cos^{2n}x$ với $n\in Z^+$ 3)    Chứng minh:   $4^{|\sin x|} + 2^{|\cos x|} \ge 3$ Lời giải Đề bài: 1)    Với $x \in [ - 1;1] $,   chứng minh $\sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + … [Đọc thêm...] vềĐề bài: 1)    Với $x \in [ – 1;1] $,   chứng minh $\sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \le 2$2)    Tìm miền giá trị của   $y=\sin^{2n}x+\cos^{2n}x$ với $n\in Z^+$ 3)    Chứng minh:   $4^{|\sin x|} + 2^{|\cos x|} \ge 3$

Đề bài: Cho $a,b,c$ dương chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c$ dương chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}$ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b,c$ dương chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{2}$

Đề bài: Cho các số thực $a,b$ không âm, chứng minh rằng:    $a^3+2b^3\geq 3ab^2$ Lời giải Đề bài: Cho các số thực $a,b$ không âm, chứng minh rằng:    $a^3+2b^3\geq 3ab^2$ Lời giải Ta có $VT=a^3+b^3+b^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3b^3}=3ab^2$, đpcm.Dấu đẳng thức xảy ra khi:    $a^3=b^3=b^3\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho các số thực $a,b$ không âm, chứng minh rằng:    $a^3+2b^3\geq 3ab^2$

Đề bài: Cho $a,b,c,d>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c,d>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b,c,d>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c} \geq \frac{2}{3}$

Đề bài: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh rằng: $p=abc\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\leq \frac{8}{729}$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh rằng: $p=abc\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\leq \frac{8}{729}$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh rằng: $p=abc\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\leq \frac{8}{729}$

Đề bài: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx =\frac{9}{4}                  (1)$Tìm $\min Q$, với $Q=x^2+14y^2+10z^2-4\sqrt{2y}$ Lời giải Đề bài: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx =\frac{9}{4}                  (1)$Tìm $\min Q$, với $Q=x^2+14y^2+10z^2-4\sqrt{2y}$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx =\frac{9}{4}                  (1)$Tìm $\min Q$, với $Q=x^2+14y^2+10z^2-4\sqrt{2y}$

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:  \(f(x)=x+\frac{1}{x-1}\) với \(x>1\) Lời giải Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:  \(f(x)=x+\frac{1}{x-1}\) với \(x>1\) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \((x-1)\) và \(\frac{1}{x-1}\)Ta có: \((x-1)+\frac{1}{x-1}\geq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:  \(f(x)=x+\frac{1}{x-1}\) với \(x>1\)

Đề bài: Chứng minh:a)   $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3               \forall a>b>0                       (1)$b)   $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3        \forall a>b>0             (2)$ Lời giải Đề bài: Chứng minh:a)   $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3               \forall a>b>0                       (1)$b)   $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3        \forall a>b>0             … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh:a)   $a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3               \forall a>b>0                       (1)$b)   $a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\geq 3        \forall a>b>0             (2)$

Đề bài: Chứng minh rằng:$(1-\frac{1}{365})(1-\frac{2}{365})...(1-\frac{25}{365}) Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$(1-\frac{1}{365})(1-\frac{2}{365})...(1-\frac{25}{365}) Lời giải Theo BĐT Cauchy:$\prod\limits_{k=1}^{25}(1-\frac{k}{365})\leq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:$(1-\frac{1}{365})(1-\frac{2}{365})…(1-\frac{25}{365})

Đề bài: Chứng minh rằng dãy số $u_n=(1+\frac{1}{n})^n, (n=1,2,...)$ là một dãy số tăng. Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng dãy số $u_n=(1+\frac{1}{n})^n, (n=1,2,...)$là một dãy số tăng Lời giải Ta cần chứng minh $\displaystyle (1+\frac{1}{n})^n$ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho $n+1$ số dương không đồng thời bằng nhau: $1$  và  $\displaystyle \underbrace … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng dãy số $u_n=(1+\frac{1}{n})^n, (n=1,2,…)$ là một dãy số tăng, tức là