(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = a\sqrt 3 ,SA = SB = SC = SD = 2a\). Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp \(S.ABCD\)bằng:
A. \(\frac{{13}}{{12}}{a^3}\).
B. \(\frac{{13\sqrt 2 }}{{12}}{a^3}\).
C. \(\frac{{13\sqrt 6 }}{{12}}{a^3}\).
D. \(\frac{{13\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}\).
Lời giải:
Chọn D
Gọi \(AD = x\left( {x > 0} \right)\).
Ta có \(AC = \sqrt {{x^2} + 3{a^2}} \Rightarrow AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 3{a^2}} \)
Khi đó
\(SH = \sqrt {4{a^2} – \frac{{{x^2} + 3{a^2}}}{4}} = \sqrt {\frac{{13}}{4}{a^2} – \frac{{{x^2}}}{4}} \).
Thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 x.\sqrt {\frac{{13}}{4}{a^2} – \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\frac{x}{2}.\sqrt {\frac{{13{a^2}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{4}} .\)
Đặt \(f\left( x \right) = \frac{x}{2}.\sqrt {\frac{{13{a^2}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{4}} \le \frac{{\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{13{a^2}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{4}}}{2} = \frac{{13{a^2}}}{8}\)
Thể tích lớn nhất của khối chóp \(V = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\frac{{13{a^2}}}{8} = \frac{{13\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}.\)
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện
Trả lời