(Sở Thái Nguyên 2022) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\), \(AB = AD = a\), \(CD = 2a\). Hình chiếu của đỉnh \(S\) lên mặt \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trung điểm của \(BD\). Biết thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{2}\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng

Câu hỏi:

A. \(\frac{{\sqrt 5 a}}{2}\).

B. \(\frac{{\sqrt 5 a}}{5}\).

C. \(\frac{{\sqrt {10} a}}{5}\).

D. \(\frac{{\sqrt {10} a}}{2}\).

Lời giải:

Chọn C

Gọi \(H\) hình chiếu của đỉnh \(S\) lên mặt \(\left( {ABCD} \right)\). Khi đó: \(H\) là trung điểm của \(BD\).

Ta có: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}a\left( {a + 2a} \right) = \frac{{3{a^2}}}{2}\).

Ta có: \(SH = \frac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = 3.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}:\frac{3}{2}{a^2} = a\sqrt 2 \).

Ta có: \(AB = \frac{1}{2}CD \Rightarrow d\left( {A,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D,\,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {H,\,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\). Ta có: \(ABED\) là hình vuông cạnh bằng \(a\).

Xét tam giác \(BCD\) có \(BE = \frac{1}{2}CD \Rightarrow \Delta BCD\) vuông cân tại \(B\)\( \Rightarrow \) \(BC \bot BD\).

Theo bài ra, ta có: \(SH \bot BC\). Do đó: \(BC \bot \left( {SBD} \right)\).

Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(HK \bot SB\). Khi đó: \(HK = d\left( {H,\,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Ta có: \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \)\(\frac{5}{{2{a^2}}}\)\( \Rightarrow H{K^2} = \frac{{2{a^2}}}{5} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\).

Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\).

==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Thể tích đa diện