Sách Toán - Học toán
Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán
Đề bài: Tìm đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x^{2}-x+6}\). Lời giải \(f(x)=\frac{1}{5}[\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+2}]\)\(f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}n!}{5}[\frac{1}{(x-3)^{n+1}}-\frac{1}{(x+2)^{n+1}}]\). Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:\(f'=\frac{1}{5}[\frac{-1}{(x-3)^{2}}- … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x^{2}-x+6}\).
Đề bài: Cho hàm số: $y = - x + 3 + \frac{3}{x - 1}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: $y = \frac{{ - {x^2} + 4x}}{{|x - 1|}}$$2.$ Chứng minh rằng đường thẳng $y = 2x + m$ luôn luôn cắt $(Cm)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$. Tìm các giá trị của $m$ sao cho $d = {({x_1} - … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số: $y = – x + 3 + \frac{3}{x – 1}$$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số: $y = \frac{{ – {x^2} + 4x}}{{|x – 1|}}$$2.$ Chứng minh rằng đường thẳng $y = 2x + m$ luôn luôn cắt $(Cm)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1; x_2$. Tìm các giá trị của $m$ sao cho $d = {({x_1} – {x_2})^2}$ đạt giá trị bé nhất.
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}$ trên đoạn $[0;1]$. Lời giải Viết lại hàm số dưới dạng: $f(x)=2x+1+\frac{2}{x+2}$. Đạo hàm: $f'(x)=2-\frac{2}{(x+2)^2}, f'(x)=0 \Leftrightarrow (x+2)^2=1$ vô nghiệm trên đoạn $[0;1]$. Ta có: $f(0)=2; f(1)=\frac{11}{3}$. Vậy, ta nhận được : -$\max f(x)=\max (2;\frac{11}{3})=\frac{11}{3}$ … [Đọc thêm...] vềĐề: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}$ trên đoạn $[0;1]$.
Đề bài: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số sau đây tại điểm \(x\).a) \(y=\frac{2x-1}{x+1}\)b) \(y=\sqrt{x+1}+x\) Lời giải a) \(y'(x)=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{2(x+\Delta x)-1}{x+\Delta x +1}- \frac{2x-1}{x+1}}{\Delta x}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to … [Đọc thêm...] vềĐề: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số sau đây tại điểm \(x\).a) \(y=\frac{2x-1}{x+1}\)b) \(y=\sqrt{x+1}+x\)
Đề bài: Cho hàm số $y=\frac{x^2-1}{x} $ có đồ thị $(C)$a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục hoành.b) Gọi $A(x_1, y_1)$ là một điểm trên $(C)$. Chứng minh rằng trên $(C)$ còn có một điểm $B$ khác $A$ mà tiếp tuyến tại $B$ song song với tiếp tuyến tại $A$. Lời giải a) $(C)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ thỏa mãn … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số $y=\frac{x^2-1}{x} $ có đồ thị $(C)$a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của đồ thị với trục hoành.b) Gọi $A(x_1, y_1)$ là một điểm trên $(C)$. Chứng minh rằng trên $(C)$ còn có một điểm $B$ khác $A$ mà tiếp tuyến tại $B$ song song với tiếp tuyến tại $A$.
Đề bài: Cho hàm số : $y = \frac{{x^2\cos \alpha - 2x + \cos\alpha }}{{x^2 - 2x\cos\alpha + 1}},\alpha \in (0,\pi )$Tìm miền giá trị của hàm số $y$ Lời giải GiảiTa có: $y^2 – 1 = (\frac{{{x^2}c{\rm{os}}\alpha - 2{\rm{x}} + c{\rm{os}}\alpha }}{{{x^2} - 2{\rm{x}}c{\rm{os}}\alpha + 1}})^2 - 1$ $ = \frac{{{{\left( … [Đọc thêm...] vềĐề: Cho hàm số : $y = \frac{{x^2\cos \alpha – 2x + \cos\alpha }}{{x^2 – 2x\cos\alpha + 1}},\alpha \in (0,\pi )$Tìm miền giá trị của hàm số $y$
Đề bài: Trên mặt phẳng tọa độ cho các điểm $A\left ( 7;51 \right ), B\left ( 4;12 \right ), C\left ( 5;25+\sqrt{2} \right )$Điểm nào trong các điểm đã cho nằm trên đồ thị hàm số:$$y=x^{2}+\sqrt{x-3}$$ Lời giải Ta có: $f\left ( 7 \right )=7^{2}+\sqrt{7-3}=51$.Vậy $A\left ( 7,51 \right )$ thuộc đồ thị hàm số $f\left ( x \right )=x^{2}+\sqrt{x-3}$Xét đểm $B\left ( 4,12 \right … [Đọc thêm...] vềĐề: Trên mặt phẳng tọa độ cho các điểm $A\left ( 7;51 \right ), B\left ( 4;12 \right ), C\left ( 5;25+\sqrt{2} \right )$Điểm nào trong các điểm đã cho nằm trên đồ thị hàm số:$$y=x^{2}+\sqrt{x-3}$$
Đề bài: Không dùng mấy tính và bảng số, tính gần đúng giá trị $\cos 61^{0}$ Lời giải Xét hàm số $f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$Áp dụng công thức tính gần đúng$f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f^{'}(x_{0})\Delta x$Với $x_{0}=\frac{\pi}{3}, \Delta x=\frac{\pi}{180}$ ta được$\cos 61^{0}= \cos … [Đọc thêm...] vềĐề: Không dùng mấy tính và bảng số, tính gần đúng giá trị $\cos 61^{0}$
Đề bài: Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, và $(D)$ là đường thẳng có phương trình $y = ax + b$.1) $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng $(D)$ tiếp xúc với $(C)$?2) Giả sử điều kiện trên được nghiệm đúng. Khi đó $(D)$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $M$ và $N$.a) Chứng tỏ rằng tam giác $OMN$ có diện tích không đổi.b) Chứng tỏ rằng điểm giữa của đoạn $MN$ là tiếp … [Đọc thêm...] vềĐề: Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, và $(D)$ là đường thẳng có phương trình $y = ax + b$.1) $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng $(D)$ tiếp xúc với $(C)$?2) Giả sử điều kiện trên được nghiệm đúng. Khi đó $(D)$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $M$ và $N$.a) Chứng tỏ rằng tam giác $OMN$ có diện tích không đổi.b) Chứng tỏ rằng điểm giữa của đoạn $MN$ là tiếp điểm của $(D)$ với $(C)$.c) Khi nào thì khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(D)$ là lớn nhất
Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số:a) $y = \sqrt[ 5]{ \ln ^3 5x} $; b) $y = \sqrt[ 3]{\frac{1+x^3}{1-x^3} } $c) $y = \left ( \frac{x}{b} \right)^a . \left (\frac{a}{x}\right)^b $ với $a> 0, b > 0$ Lời giải a) $y = \sqrt[ 5]{\ln^3( 5x )} = (\ln (5x))^ \frac{3}{5} $ $\Rightarrow y' = \frac{3}{5} (\ln 5x)^ {-\frac{2}{5}}. (\ln 5x)' = … [Đọc thêm...] vềĐề: Tính đạo hàm của các hàm số:a) $y = \sqrt[ 5]{ \ln ^3 5x} $; b) $y = \sqrt[ 3]{\frac{1+x^3}{1-x^3} } $c) $y = \left ( \frac{x}{b} \right)^a . \left (\frac{a}{x}\right)^b $ với $a> 0, b > 0$
