Ông Duy có một mảnh vườn hình vuông cạnh bằng $8$ m

Ông Duy có một mảnh vườn hình vuông cạnh bằng $8$ m. Ông dự định xây một cái bể bơi đặc biệt (phần kẻ sọc trong hình vẽ bên). Biết $AM=\dfrac{AB}{4}$, phần đường cong đi qua các điểm $C$, $M$, $N$ là một phần của đường Parabol có trục đối xứng là $MP(MP\parallel AD)$ và chi phí để làm bể bơi là $5$ triệu đồng $/$1$\mathrm{m}^2$. Số tiền ông Duy phải trả để xây cái bể bơi đó là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 95

Lời giải:

Gắn trục tọa độ như hình vẽ.
Gọi phương trinh trình của Parabol là $(P)\colon y=ax^2+bx+c$.
Ta có $(P)$ đi qua điểm $C(8;0)$, $M(2;8)$ và có hoành độ đỉnh $x=2$ nên ta có hệ phương trình sau
$\left\{\begin{array}{l} 64a+8b+c=0\\ 4a+2b+c=8\\ \dfrac{-b}{2a}=2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=-\dfrac{2}{9}\\ b=\dfrac{8}{9}\\ c=\dfrac{64}{9}\end{array}\right.\Rightarrow (P)\colon y=-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{8}{9}x+\dfrac{64}{9}.$
Giao điểm của $(P)$ với trục $Oy$ là điểm $N\left(0;\dfrac{64}{9}\right)$.
Gọi $d\colon y=ax+b$ là đường thẳng đi qua $N$ và $C$. Khi đó phương trình của $d$ là $y=-\dfrac{8}{9}x+\dfrac{64}{9}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d$ là
$S=\displaystyle\int\limits_0^8 \left(-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{8}{9}x+\dfrac{64}{9}+\dfrac{8}{9}x-\dfrac{64}{9}\right) \mathrm{ d}x=\displaystyle\int\limits_0^8 \left(-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{16}{9}x\right) \mathrm{ d}x=\dfrac{512}{27}.$
Vậy số tiền ông Duy phải trả để xây bể bơi là $\dfrac{512}{27}\cdot 5\approx 95$ triệu đồng.