Ông A dự định sử dụng hết \(6,5\,{m^2}\)kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? (Trích đề thi chính thức THPT năm 2018).

Câu hỏi:

Ông A dự định sử dụng hết \(6,5\,{m^2}\)kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? (Trích đề thi chính thức THPT năm 2018).

A. \(2,26\,{m^3}\).

B. \(1,61\,{m^3}\).

C. \(1,33\,{m^3}\).

D. \(1,50\,{m^3}\).

Lời giải

Chọn D

Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật là: \(x\left( m \right);\,2x\left( m \right);h\left( m \right)\); \(x,h > 0\).

Ta có hình vẽ tương ứng:

Ta có tổng diện tích phần lắp kính là: \(S = 2x.x + 2.x.h + 2.2x.h = 6,5\)\( \Rightarrow h = \frac{{6,5 – 2{x^2}}}{{6x}}\).

Do \(x,h > 0\) nên \(6,5 – 2{x^2} > 0 \Leftrightarrow x < \sqrt {\frac{{6,5}}{2}} \Leftrightarrow x < \frac{{\sqrt {13} }}{2}\).

Khi đó ta có: \(V = 2x.x.h\)=\(\frac{{6,5x – 2{x^3}}}{3}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{6,5x – 2{x^3}}}{3};x \in \left( {0;\frac{{\sqrt {13} }}{2}} \right)\).

Cách 1:

Ta có: \(f’\left( x \right) = – 2{x^2} + \frac{{13}}{6}.\) Cho \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {39} }}{6}{\rm{ }}\left( n \right)\\x = – \frac{{\sqrt {39} }}{6}{\rm{ }}\left( l \right)\end{array} \right.\)

BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(f\left( x \right)\) lớn nhất khi \(x = \frac{{\sqrt {39} }}{6}\); Max\(f\left( x \right) = \frac{{13\sqrt {39} }}{{54}} \approx 1,50\,{m^3}\).

Cách 2:

Bấm máy tính, đối với dòng máy fx – 580 VN X.

Ta nhập Mode 8\(f\left( x \right) = \frac{{6,5x – 2{x^3}}}{3}\); bắt đầu: 0; kết thúc:\(x = \frac{{\sqrt {13} }}{2}\); bước: 0,1.

Ta nhận được kết quả tương tự.

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số