Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền \((R)\) (phần được tô màu trong hình vẽ bên) quanh trục \(AB\). Miền \((R)\) được giới hạn bởi các cạnh \(AB\), \(AD\) của hình vuông \(ABCD\) và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng \(1\) cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD\), \(AB\).

Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền \((R)\) (phần được tô màu trong hình vẽ bên) quanh trục \(AB\). Miền \((R)\) được giới hạn bởi các cạnh \(AB\), \(AD\) của hình vuông \(ABCD\) và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng \(1\) cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AD\), \(AB\).

Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

A. \(10,6\;c{m^3}\).

B. \(21,4\;c{m^3}\).

C. \(23,4\;c{m^3}\).

D. \(12,3\;c{m^3}\).

Lời giải:

Chọn trục \(Ox\) chứa điểm \(B\), trục \(Oy\) chứa điểm \(D\), và gốc tọa độ \(O\) trùng điểm \(A\) (như hình vẽ).

Gọi \(E,\;F\) lần lượt là trung điểm của \(AD\), \(AB\). Khi đó \(E(0;\;1),\;F(1;\;0)\).

*Phương trình đường tròn có tâm \(E(0;\;1)\) và đường kính \(AD = 2\) là: \({x^2} + {(y – 1)^2} = 1\).

Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm \(E\) là: \(y = 1 + \sqrt {1 – {x^2}} \)

*Phương trình đường tròn có tâm \(F(1;\;0)\) và đường kính \(AB = 2\) là: \({(x – 1)^2} + {y^2} = 1\).

Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm \(F\) là: \(y = \sqrt {1 – {{(x – 1)}^2}} \)

Vậy, thể tích vật trang trí là:

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 – {x^2}} } \right)}^2}.dx} + \pi \int\limits_1^2 {\left( {1 – {{(x – 1)}^2}} \right).dx} \approx 12,3\;\left( {c{m^3}} \right)\)