Một vật trang trí có dạng là khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần gạch chéo trong hình bên) quanh trục $AB$

Một vật trang trí có dạng là khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần gạch chéo trong hình bên) quanh trục $AB$. Miền $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB$, $AD$ của hình vuông $ABCD$ và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng $1$ cm với tâm lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$, $AD$. Thể tích của vật trang trí đó (làm tròn đến kết quả đến hàng phần mười) bằng bao nhiêu cen-ti-mét khối? (Trích đề Minh họa tốt nghiệp THPT năm 2024).

Đáp án: 10,5

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình trên. Ta có phương trình cá cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng $1$ cm với tâm lần lượt là trung điểm các cạnh $BC$, $AD$ là $y = 1 – \sqrt{1 – (x-2)^2};$ $y = 1 + \sqrt{1-x^2}.$
Vậy thể tích vật trang trí đó là
\begin{align*}
V = \pi \displaystyle \displaystyle\int\limits_{0}^{1} \left(1+\sqrt{1-x^2}\right)^2 \mathrm{d}x +\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \left(1-\sqrt{1-(x-2)^2}\right)^2 \mathrm{d}x \approx 10{,}5 \left(\text{cm}^3\right).
\end{align*}