Một vật thể có kích thước và hình dáng như hình vẽ, đáy là hình elip có độ dài trục lớn bằng $6$ và độ dài trục bé bằng $4$

Một vật thể có kích thước và hình dáng như hình vẽ, đáy là hình elip có độ dài trục lớn bằng $6$ và độ dài trục bé bằng $4$. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ ta được thiết diện là một tam giác đều. Gọi thể tích của vật thể là $V$. Tính $V^2$.
\definecolor{fawn}{rgb}{0.9, 0.67, 0.44}

Đáp án: 768

Lời giải: \definecolor{fawn}{rgb}{0.9, 0.67, 0.44}

Vật thể được giới hạn bởi $2$ mặt phẳng $(\alpha)\colon x=-3$; $(\beta)\colon x=3$.
Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$, $x \in[-3; 3]$ cắt vật thể theo thiết diện là tam giác đều $ABC(AB$ thuộc mặt phẳng $(Ox y)$).
Trong mặt phẳng $(Ox y)$, phương trình đường elip đáy là $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ và $A\left(x;-\dfrac{2}{3} \sqrt{9-x^2}\right)$; $B\left(x; \dfrac{2}{3} \sqrt{9-x^2}\right)$. Ta có $AB=\dfrac{4}{3} \cdot \sqrt{9-x^2}$.
Suy ra diện tích thiết diện là $S(x)=S_{ABC}=\dfrac{AB^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\left(9-x^2\right)$.
Thể tích vật thể là $V=\displaystyle\int\limits_{-3}^3S(x) \mathrm{d}x=\dfrac{4\sqrt{3}}{9} \cdot \displaystyle\int\limits_{-3}^3\left(9-x^2\right) \mathrm{d}x=\left.\dfrac{4\sqrt{3}}{9} \cdot\left(9x-\dfrac{x^3}{3}\right)\right|_{-3}^3=16\sqrt{3}.$
Vậy $V^2=768$.