Một thùng chứa rượu bằng gỗ là một hình tròn xoay như hình bên có hai mặt đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy là $8$dm

Một thùng chứa rượu bằng gỗ là một hình tròn xoay như hình bên có hai mặt đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy là $8$dm. Đường cong mặt bên của thùng là một phần của đường elip có độ dài trục lớn bằng $10$dm, trục bé bằng $6$dm. Hỏi thùng gỗ này đựng được bao nhiêu lít rượu? Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

\par
Đáp án: 178

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.
Vì đường cong mặt bên của thùng là một phần của đường elip có độ dài trục lớn bằng $10$dm, trục bé bằng $6$dm nên có phương trình $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\Leftrightarrow{y^2}=\dfrac{9}{25}\left(25-x^2\right)$.
Thùng rượu là vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường Elip, trục $Ox$, các đường thẳng $x=-4$, $x=4$ quay xung quanh trục $Ox$ nên thể tích của thùng rượu được tính bởi công thức
$\begin{array}{l} V = \displaystyle \pi\displaystyle\int\limits_{-4}^4 y^2 \mathrm{d}x=\dfrac{9\pi}{25}\displaystyle\int\limits_{-4}^4\left(25-x^2\right)\mathrm{d}x=\dfrac{9\pi}{25} \left(25x-\dfrac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-4}^4=\dfrac{1416\pi}{25}\text{dm}^3 \approx 178 \text{ lít}. \end{array}$