Một nhóm \(10\) học sinh gồm \(5\) học sinh nam trong đó có An và \(5\) học sinh nữ trong đó có Bình được xếp ngồi vào \(10\) cái ghế trên một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình?

Một nhóm \(10\) học sinh gồm \(5\) học sinh nam trong đó có An và \(5\) học sinh nữ trong đó có Bình được xếp ngồi vào \(10\) cái ghế trên một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình?

A. \(32 \cdot 8!\).             B . \(32 \cdot {\left( {4!} \right)^2}\).                C. \(16 \cdot 8!\).        D. \(16 \cdot {\left( {4!} \right)^2}\).

Lời giải

Số cách xếp \(10\) học sinh ngồi xen kẽ nam và nữ là \(2 \cdot 5! \cdot 5! = 2 \cdot {\left( {5!} \right)^2}\) cách.

Trong \(2 \cdot {\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp trên bao gồm khả năng An và Bình ngồi cạnh nhau hoặc không ngồi cạnh nhau, do đó, ta đếm số cách xếp \(10\) bạn học sinh ngồi xen kẽ nam và nữ mà An và Bình ngồi cạnh nhau (vẫn đảm bảo nam và nữ ngồi xen kẽ) như sau

• Xếp \(8\) học sinh (trừ đi An và Bình) ngồi vào hàng ngang sao cho \(4\) học sinh nam xen kẽ \(4\) học sinh nữ, có \(2 \cdot 4! \cdot 4! = 2 \cdot {\left( {4!} \right)^2}\) cách.
• Với mỗi cách xếp \(8\) học sinh trên có \(9\) khoảng trống được tạo ra (gồm \(7\) khoảng trống xem kẽ giữa \(8\) học sinh và \(2\) khoảng trống hai biên). Với mỗi khoảng trống đó, xếp An và Bình vào để được \(5\) học sinh nam và \(5\) học sinh nữ ngồi xen kẽ nhau: có \(1\) cách xếp.

Suy ra có \(9 \cdot 2 \cdot {\left( {4!} \right)^2} = 18 \cdot {\left( {4!} \right)^2}\) cách.

Vậy số cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình là

\(2 \cdot {\left( {5!} \right)^2} – 18 \cdot {\left( {4!} \right)^2} = 2 \cdot 25 \cdot {\left( {4!} \right)^2} – 18 \cdot {\left( {4!} \right)^2} = 32 \cdot {\left( {4!} \right)^2}\) cách.