Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí \(A\) cách bờ biển một khoảng \(AB = 4\left( {km} \right)\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí \(C\) cách \(B\) một khoảng \(BC = 7\left( {km} \right)\). Người canh hải đăng phải chèo thuyền từ vị trí \(A\) đến vị trí \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(6\left( {km/h} \right)\) rồi đi xe đạp từ \(M\) đến \(C\) với vận tốc \(10\left( {km/h} \right)\) (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ \(M\) đến \(C\) để người đó đi từ \(A\) đến \(C\) là nhanh nhất.

.

Câu hỏi:

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí \(A\) cách bờ biển một khoảng \(AB = 4\left( {km} \right)\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí \(C\) cách \(B\) một khoảng \(BC = 7\left( {km} \right)\). Người canh hải đăng phải chèo thuyền từ vị trí \(A\) đến vị trí \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(6\left( {km/h} \right)\) rồi đi xe đạp từ \(M\) đến \(C\) với vận tốc \(10\left( {km/h} \right)\) (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ \(M\) đến \(C\) để người đó đi từ \(A\) đến \(C\) là nhanh nhất.

.

A. \(9km\).

B. \(6km\).

C. \(3km\).

D. \(4km\).

Lời giải

Chọn D

Đặt \(MC = x\).

Quãng đường \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} \) =\(\sqrt {16 + {{\left( {7 – x} \right)}^2}} \) ⇒ thời gian đi quãng đường \(AM\) là \(\frac{{\sqrt {16 + {{\left( {7 – x} \right)}^2}} }}{6}\) (giờ). Quãng đường \(MC = x\) ⇒ thời gian đi quãng đường \(MC\) là \(\frac{x}{{10}}\) (giờ).

Tổng thời gian đi từ \(A\) đến \(C\) là \(y = \frac{1}{6}\sqrt {16 + {{\left( {7 – x} \right)}^2}} + \frac{1}{{10}}x\) (với \(0 \le x \le 7\)).

Đạo hàm \(y’ = \frac{1}{6}.\frac{{x – 7}}{{\sqrt {16 + {{\left( {7 – x} \right)}^2}} }} + \frac{1}{{10}}\); \(y’ = 0 \Leftrightarrow 6\sqrt {16 + {{\left( {7 – x} \right)}^2}} = 10\left( {7 – x} \right)\) ⇔\(x = 4\).

Giá trị \(y\left( 0 \right) = \frac{1}{6}\sqrt {65} \), \(y\left( 7 \right) = \frac{{41}}{{30}}\), \(y\left( 4 \right) = \frac{{37}}{{30}}\).

Vậy GTNN là \(y\left( 4 \right) = \frac{{37}}{{30}}\), tức là khoảng cách \(x = 4\) (km).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số