Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(2020\)\(\left( {{m^2}} \right)\). Người chủ muốn mở rộng khuôn viên thành khu sinh thái mới có dạng hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn cũ. Diện tích nhỏ nhất của phần đất được mở rộng thêm gần nhất với kết quả nào sau đây (tham khảo hình vẽ dưới).

Câu hỏi:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(2020\)\(\left( {{m^2}} \right)\). Người chủ muốn mở rộng khuôn viên thành khu sinh thái mới có dạng hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn cũ. Diện tích nhỏ nhất của phần đất được mở rộng thêm gần nhất với kết quả nào sau đây (tham khảo hình vẽ dưới).

A. \(3173\)\(\left( {{m^2}} \right)\).

B. \(12692\)\(\left( {{m^2}} \right)\).

C. \(1153\)\(\left( {{m^2}} \right)\).

D. \(10672\)\(\left( {{m^2}} \right)\).

Lời giải

Chọn C

Giả sử mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu có một kích thước là \(x\) \(\left( m \right)\)\(\left( {x > 0} \right)\).

\( \Rightarrow \) Kích thước còn lại là: \(\frac{{2020}}{x}\)\(\left( m \right)\).

Khu sinh thái mới (có dạng hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn cũ) có đường kính bằng độ dài đường chéo của mảnh vườn ban đầu. Suy ra khu sinh thái có bán kính là:

\(R = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{2020}}{x}} \right)}^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + \frac{{4080400}}{{{x^2}}}} \)\(\left( m \right)\).

Diện tích khu sinh thái là: \(\pi {\left( {\frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + \frac{{4080400}}{{{x^2}}}} } \right)^2} = \frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + \frac{{4080400}}{{{x^2}}}} \right)\).

Suy ra diện tích của phần đất mở rộng thêm là: \(\frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + \frac{{4080400}}{{{x^2}}}} \right) – 2020\)\(\left( {{m^2}} \right)\).

Cách 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \({x^2} + \frac{{4080400}}{{{x^2}}} \ge 2\sqrt {{x^2}.\frac{{4080400}}{{{x^2}}}} = 4040\).

Suy ra: \(\frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + \frac{{4080400}}{{{x^2}}}} \right) – 2020 \ge 4040.\frac{\pi }{4} – 2020 = 1010\left( {\pi – 2} \right)\).

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần đất được mở rộng thêm là \(1010\left( {\pi – 2} \right) \approx 1153\)\(\left( {{m^2}} \right)\).

Cách 2:

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{\pi }{4}\left( {{x^2} + \frac{{4080400}}{{{x^2}}}} \right) – 2020 \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{\pi }{4}\left( {2x – \frac{{4080400.2x}}{{{x^4}}}} \right) = \frac{\pi }{2}.\frac{{{x^4} – 4080400}}{{{x^3}}}\).

\( \Leftrightarrow f’\left( x \right) = \frac{\pi }{2}.\frac{{\left( {{x^2} + 2020} \right)\left( {x + 2\sqrt {505} } \right)\left( {x – 2\sqrt {505} } \right)}}{{{x^3}}}\) với \(\left( {x > 0} \right)\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\):

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần đất được mở rộng thêm là \(1010\left( {\pi – 2} \right) \approx 1153\)\(\left( {{m^2}} \right)\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số