Một màn hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó. (\(\widehat {BOC}\) gọi là góc nhìn).
Lời giải
Với bài toán này ta cần xác định \(OA\) sao cho góc \(\widehat {BOC}\) lớn nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\tan \widehat {BOC}\) lớn nhất. Đặt \(OA = x\) (m) với \(x > 0\), ta có: \(\tan \widehat {BOC} = \tan \left( {\widehat {AOC} – \widehat {AOB}} \right) = \frac{{\tan \widehat {AOC} – \tan \widehat {AOB}}}{{1 + \tan \widehat {AOC}.\tan \widehat {AOB}}} = \frac{{\frac{{AC}}{{OA}} – \frac{{AB}}{{OA}}}}{{1 + \frac{{AC.AB}}{{O{A^2}}}}} = \)
\( = \frac{{\frac{{1,4}}{x}}}{{1 + \frac{{3,2.1,8}}{{{x^2}}}}} = \frac{{1,4x}}{{{x^2} + 5,76}}.\)
Xét hàm số \(f(x) = \frac{{1,4x}}{{{x^2} + 5,76}}\). Khi đó bài toán trở thành tìm \(x > 0\) để \(f(x)\)đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \(f'(x) = \frac{{ – 1,4{x^2} + 8,064}}{{{{\left( {{x^2} + 5,76} \right)}^2}}},f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2,4\) (với\(x > 0\)).
Bảng biến thiên:
Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh \(2,4\) (m).
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Trả lời