Một lớp học có 40 học sinh, 15 giỏi Toán, 12 giỏi Văn, 7 giỏi cả hai môn. Tính xác suất để chọn được 1 học sinh giỏi ít nhất một môn

Bài toán

Một lớp học có $40$ học sinh. Trong đó có $15$ học sinh giỏi Toán, $12$ học sinh giỏi Văn và $7$ học sinh giỏi cả Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh của lớp. Tính xác suất để học sinh được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn.

Dạng toán và Phương pháp giải

• Dạng toán: Tính xác suất của biến cố bằng công thức cộng xác suất.
• Phương pháp giải: Để tính xác suất của biến cố $A \cup B$ (biến cố có ít nhất một trong hai biến cố $A$ hoặc $B$ xảy ra), ta sử dụng công thức cộng xác suất:
  + Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố bất kì: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$.
  + Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc (không thể cùng xảy ra, tức là $A \cap B = \varnothing$): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Lời giải chi tiết

Gọi biến cố $A$: “Học sinh được chọn giỏi môn Toán”.

Gọi biến cố $B$: “Học sinh được chọn giỏi môn Văn”.

Khi đó:

• Biến cố $A \cap B$: “Học sinh được chọn giỏi cả Toán và Văn”.
• Biến cố $A \cup B$: “Học sinh được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn”.

Phép thử là chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh từ $40$ học sinh, nên số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 40$.

Ta có:

• $n(A) = 15 \Rightarrow P(A) = \frac{15}{40}$.
• $n(B) = 12 \Rightarrow P(B) = \frac{12}{40}$.
• $n(A \cap B) = 7 \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{7}{40}$.

Áp dụng công thức cộng xác suất, xác suất để học sinh được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn là:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{15}{40} + \frac{12}{40} – \frac{7}{40} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} = 0,5$$

Kết luận: Xác suất cần tìm là $0,5$.

Bài tập tương tự

Dưới đây là 5 bài tập tương tự để bạn tự luyện tập (nhấn vào phần tóm tắt để xem đáp án và lời giải chi tiết).

Bài 1:

Một hộp chứa $20$ quả cầu được đánh số từ $1$ đến $20$. Lấy ngẫu nhiên $1$ quả cầu từ hộp. Tính xác suất để quả cầu lấy ra ghi số chia hết cho $2$ hoặc chia hết cho $3$.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải:

Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega) = 20$.

Gọi $A$ là biến cố “Quả cầu lấy ra ghi số chia hết cho 2” $\Rightarrow A = \{2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20\} \Rightarrow n(A) = 10 \Rightarrow P(A) = \frac{10}{20}$.

Gọi $B$ là biến cố “Quả cầu lấy ra ghi số chia hết cho 3” $\Rightarrow B = \{3; 6; 9; 12; 15; 18\} \Rightarrow n(B) = 6 \Rightarrow P(B) = \frac{6}{20}$.

Khi đó $A \cap B$ là biến cố “Quả cầu lấy ra ghi số chia hết cho 6” $\Rightarrow A \cap B = \{6; 12; 18\} \Rightarrow n(A \cap B) = 3 \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{3}{20}$.

Áp dụng công thức cộng xác suất: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{10}{20} + \frac{6}{20} – \frac{3}{20} = \frac{13}{20}$.

Bài 2:

Trong một nhóm gồm $50$ người, có $30$ người thích chơi bóng đá, $25$ người thích chơi cầu lông, $10$ người thích chơi cả bóng đá và cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm. Tính xác suất để người đó thích chơi ít nhất một trong hai môn thể thao trên.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố “Người được chọn thích chơi bóng đá”, $B$ là biến cố “Người được chọn thích chơi cầu lông”.

Ta có $P(A) = \frac{30}{50}$; $P(B) = \frac{25}{50}$; $P(A \cap B) = \frac{10}{50}$.

Xác suất để người đó thích chơi ít nhất một trong hai môn là: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{30}{50} + \frac{25}{50} – \frac{10}{50} = \frac{45}{50} = 0,9$.

Bài 3:

Một hộp có $5$ viên bi xanh, $4$ viên bi đỏ và $3$ viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên $2$ viên bi. Tính xác suất để $2$ viên bi lấy ra có cùng màu.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải:

Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) = C_{12}^2 = 66$.

Gọi $A$ là biến cố “Lấy được 2 bi xanh”, $B$ là biến cố “Lấy được 2 bi đỏ”, $C$ là biến cố “Lấy được 2 bi vàng”. Các biến cố này xung khắc với nhau từng đôi một.

$P(A) = \frac{C_5^2}{66} = \frac{10}{66}$; $P(B) = \frac{C_4^2}{66} = \frac{6}{66}$; $P(C) = \frac{C_3^2}{66} = \frac{3}{66}$.

Xác suất để 2 bi cùng màu là: $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = \frac{10 + 6 + 3}{66} = \frac{19}{66}$.

Bài 4:

Xác suất để một học sinh vượt qua kì thi môn Toán là $0,8$; môn Tiếng Anh là $0,7$. Xác suất để học sinh đó vượt qua cả hai môn là $0,6$. Tính xác suất để học sinh đó vượt qua ít nhất một môn.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố “Học sinh vượt qua môn Toán”, $B$ là biến cố “Học sinh vượt qua môn Tiếng Anh”.

Ta có $P(A) = 0,8$; $P(B) = 0,7$; $P(A \cap B) = 0,6$.

Xác suất học sinh vượt qua ít nhất một môn là $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = 0,8 + 0,7 – 0,6 = 0,9$.

Bài 5:

Một người có hai khẩu súng. Xác suất bắn trúng đích của khẩu thứ nhất là $0,6$; khẩu thứ hai là $0,8$. Người đó lấy mỗi khẩu súng bắn một viên đạn vào bia một cách độc lập. Tính xác suất để có ít nhất một viên đạn trúng đích.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố “Viên đạn từ khẩu 1 trúng đích”, $B$ là biến cố “Viên đạn từ khẩu 2 trúng đích”.

Ta có $P(A) = 0,6$; $P(B) = 0,8$. Vì hai khẩu súng bắn độc lập nên $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,6 \cdot 0,8 = 0,48$.

Xác suất có ít nhất một viên đạn trúng đích là: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = 0,6 + 0,8 – 0,48 = 0,92$.