Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) và cách nhau một khoảng bằng $4$(m)

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) và cách nhau một khoảng bằng $4$(m). Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là $150000$ đồng/m$^2$ và $100000$ đồng/m$^2$. Hỏi cần bao nhiêu tiền (đơn vị: triệu đồng) để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 3,74

Lời giải:

Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ, ta có bán kính của đường tròn là $R=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.
Phương trình của nửa đường tròn $(C)$ là $x^2+y^2=20, y\ge 0\Rightarrow y=\sqrt{20-x^2}$.
Parabol $(P)$ có đỉnh $O(0; 0)$ và đi qua điểm $(2; 4)$ nên có phương trình $y=x^2$.
$\bullet$ Diện tích phần tô màu là $S_1=\displaystyle\int\limits_{-2}^2\left[\sqrt{20-x^2}-x^2 \right]\mathrm{d}x$(m$^2$).
$\bullet$ Diện tích phần không tô màu là $S_2=\dfrac{1}{2}\cdot\pi\cdot\left(2\sqrt{5} \right)^2-S_1$(m$^2$).
$\bullet$ Số tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản (đơn vị: triệu đồng) trong khuôn viên đó là
$\begin{array}{l} 0{,}15\cdot S_1+0{,}1\cdot S_2 = S_2=0{,}15\cdot S_1+0{,}1\left(\dfrac{1}{2}\cdot\pi\cdot\left(2\sqrt{5} \right)^2-S_1 \right)\\ = 0{,}05S_1+0{,}05\pi\cdot\left(2\sqrt{5} \right)^2 \\ \approx 3{,}74\text{ (triệu đồng)}. \end{array}$