Một khối đồ chơi bằng gỗ được tạo ra từ một khối gỗ hình trụ có chiều cao bằng \(20\;\;{\rm{cm}}\) và được khoét phần giữa là một khối nón có bán kính đáy bằng một nửa bán kính đáy trụ, đỉnh nón trùng với tâm đáy còn lại của khối trụ. Tính thể tích của khối đồ chơi biết khối nón khoét đi có diện tích xung quanh bằng \(16\pi \sqrt {26} \;\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)

Một khối đồ chơi bằng gỗ được tạo ra từ một khối gỗ hình trụ có chiều cao bằng \(20\;\;{\rm{cm}}\) và được khoét phần giữa là một khối nón có bán kính đáy bằng một nửa bán kính đáy trụ, đỉnh nón trùng với tâm đáy còn lại của khối trụ. Tính thể tích của khối đồ chơi biết khối nón khoét đi có diện tích xung quanh bằng \(16\pi \sqrt {26} \;\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)

A. \(\frac{{3520\pi }}{3}\;\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

B. \(960\pi \;\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\)

C. \(\frac{{920\pi }}{3}\;\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

D. \(\frac{{2560\pi }}{9}\,\;\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

Lời giải:

Gọi \(r,\,h\) lần lượt là bán kính khối trụ và chiều cao khối trụ.

Khi đó bán kính đáy và chiều cao khối nón là \(\frac{r}{2}\) và \(h = 20\;\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Gọi \(l\) là đường sinh khối nón \( \Rightarrow l = \sqrt {{{20}^2} + {{\left( {\frac{r}{2}} \right)}^2}} \).

Diện tích xung quanh khối nón là: \(\pi .\frac{r}{2}\sqrt {400 + {{\left( {\frac{r}{2}} \right)}^2}} \)

Diện tích xung quanh khối nón bằng \(16\pi \sqrt {26} \,\;\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) nên ta có:\(\pi .\frac{r}{2}\sqrt {400 + {{\left( {\frac{r}{2}} \right)}^2}} = 16\pi \sqrt {26} \Leftrightarrow {\left( {\frac{r}{2}} \right)^4} + 400{\left( {\frac{r}{2}} \right)^2} – 6656 = 0\) \( \Rightarrow {\left( {\frac{r}{2}} \right)^2} = 16\)\( \Leftrightarrow \frac{r}{2} = 4 \Leftrightarrow r = 8\).

Thể tích khối đồ chơi là: \({V_{tru}} – {V_{non}} = \pi {8^2}.20 – \frac{1}{3}\pi {4^2}.20 = \frac{{3520}}{3}\pi \;\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\)