Dạng toán và Phương pháp giải
Dạng toán: Tính xác suất của biến cố bằng định nghĩa cổ điển, sử dụng phương pháp biến cố đối.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Xác định phép thử và tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$.
- Bước 2: Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Trong một số trường hợp (như có cụm từ “ít nhất”), ta gọi $\overline{A}$ là biến cố đối của biến cố $A$.
- Bước 3: Xác định số phần tử của biến cố $\overline{A}$, ký hiệu là $n(\overline{A})$.
- Bước 4: Tính xác suất của biến cố đối: $P(\overline{A}) = \frac{n(\overline{A})}{n(\Omega)}$. Từ đó suy ra xác suất của biến cố $A$: $P(A) = 1 – P(\overline{A})$.
Lời giải chi tiết
Đề bài: Một hộp đựng 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 quả cầu đỏ.
Lời giải:
- Phép thử là lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp gồm $5 + 4 = 9$ quả cầu.
- Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_9^3 = 84$.
- Gọi $A$ là biến cố: “Lấy được ít nhất 1 quả cầu đỏ trong 3 quả cầu lấy ra”.
- Khi đó, biến cố đối $\overline{A}$ là: “Không lấy được quả cầu đỏ nào”, tức là cả 3 quả cầu lấy ra đều là màu xanh.
- Số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là số cách lấy 3 quả cầu xanh từ 4 quả cầu xanh: $n(\overline{A}) = C_4^3 = 4$.
- Xác suất của biến cố $\overline{A}$ là: $P(\overline{A}) = \frac{n(\overline{A})}{n(\Omega)} = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}$.
- Vậy xác suất để lấy được ít nhất 1 quả cầu đỏ là: $P(A) = 1 – P(\overline{A}) = 1 – \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$.
Bài tập tương tự (Tự luyện)
Dưới đây là 5 bài tập tương tự để bạn rèn luyện thêm về chủ đề Xác suất cổ điển.
Bài tập 1
Một tổ học tập có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi trực nhật. Tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải:
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{12}^4 = 495$.
Gọi $A$ là biến cố: “Có ít nhất 1 học sinh nữ”. Biến cố đối $\overline{A}$ là: “Cả 4 học sinh đều là nam”.
Số cách chọn 4 nam: $n(\overline{A}) = C_7^4 = 35$.
Xác suất: $P(\overline{A}) = \frac{35}{495} = \frac{7}{99}$.
Vậy $P(A) = 1 – \frac{7}{99} = \frac{92}{99}$.
Bài tập 2
Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất hai lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 10.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải:
Không gian mẫu khi gieo 2 lần xúc xắc: $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$.
Gọi $A$ là biến cố: “Tổng số chấm $\ge 10$”. Các kết quả thuận lợi cho $A$ là: $(4;6), (6;4), (5;5), (5;6), (6;5), (6;6)$.
Suy ra $n(A) = 6$.
Vậy xác suất là: $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Bài tập 3
Từ một hộp chứa 6 quả bóng đỏ, 4 quả bóng vàng và 2 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng. Tính xác suất để 3 quả bóng lấy ra có đủ 3 màu.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải:
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{12}^3 = 220$.
Gọi $A$ là biến cố: “3 quả bóng có đủ 3 màu”, tức là lấy 1 quả đỏ, 1 quả vàng và 1 quả xanh.
Số kết quả thuận lợi: $n(A) = C_6^1 \times C_4^1 \times C_2^1 = 6 \times 4 \times 2 = 48$.
Vậy xác suất là: $P(A) = \frac{48}{220} = \frac{12}{55}$.
Bài tập 4
Một lớp học có 20 học sinh trong đó có 12 nam và 8 nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có đúng 2 học sinh nam.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải:
Không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{20}^3 = 1140$.
Gọi $A$ là biến cố: “Chọn được đúng 2 nam và 1 nữ”.
Số kết quả thuận lợi: $n(A) = C_{12}^2 \times C_8^1 = 66 \times 8 = 528$.
Vậy xác suất là: $P(A) = \frac{528}{1140} = \frac{44}{95}$.
Bài tập 5
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải:
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc}$ ($a \neq 0$ và $a, b, c$ phân biệt).
Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau: Chọn $a$ có 9 cách, chọn $b$ có 9 cách, chọn $c$ có 8 cách. Suy ra $n(\Omega) = 9 \times 9 \times 8 = 648$ số.
Gọi $A$ là biến cố: “Số chọn được là số chẵn”, khi đó $c \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
– TH1: $c = 0$ có 1 cách. Chọn $a$ có 9 cách, chọn $b$ có 8 cách $\Rightarrow 1 \times 9 \times 8 = 72$ số.
– TH2: $c \in \{2, 4, 6, 8\}$ có 4 cách. Chọn $a$ (khác 0 và khác $c$) có 8 cách, chọn $b$ có 8 cách $\Rightarrow 4 \times 8 \times 8 = 256$ số.
Số kết quả thuận lợi: $n(A) = 72 + 256 = 328$.
Vậy xác suất là: $P(A) = \frac{328}{648} = \frac{41}{81}$.
Để lại một bình luận