Chuyên đề: Xác suất cổ điển Toán 10
Chào các em! Xác suất cổ điển là một trong những nội dung trọng tâm của chương trình Toán 10. Dưới đây, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán điển hình về xác suất kết hợp đại số tổ hợp, đồng thời cung cấp thêm một số bài tập trắc nghiệm để các em rèn luyện kỹ năng.
1. Bài toán minh họa
Bài toán: Một hộp chứa 5 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh và 3 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng 2 màu.
Dạng toán:
Tính xác suất của biến cố thông qua định nghĩa cổ điển $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$, kết hợp sử dụng các quy tắc đếm và tổ hợp.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$.
- Bước 2: Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Tính số phần tử của biến cố $A$, kí hiệu $n(A)$. Đối với bài toán có cụm từ “có đúng”, “ít nhất”, ta nên cân nhắc sử dụng biến cố đối $\overline{A}$ để phân chia trường hợp bài toán ngắn gọn hơn. Ta có: $n(A) = n(\Omega) – n(\overline{A})$.
- Bước 3: Tính xác suất $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.
Lời giải chi tiết:
Tổng số quả cầu trong hộp là $5 + 4 + 3 = 12$ (quả).
Số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ 12 quả là: $n(\Omega) = C_{12}^3 = 220$.
Gọi $A$ là biến cố: “3 quả cầu lấy ra có đúng 2 màu”.
Biến cố đối của $A$ là $\overline{A}$: “3 quả cầu lấy ra có 1 màu hoặc có đủ 3 màu”. Ta chia $\overline{A}$ thành hai trường hợp:
- Trường hợp 1: 3 quả cầu lấy ra chỉ có 1 màu.
- Lấy được 3 quả đỏ: có $C_5^3 = 10$ (cách).
- Lấy được 3 quả xanh: có $C_4^3 = 4$ (cách).
- Lấy được 3 quả vàng: có $C_3^3 = 1$ (cách).
Vậy có $10 + 4 + 1 = 15$ cách lấy 3 quả cầu cùng màu.
- Trường hợp 2: 3 quả cầu lấy ra có đủ 3 màu (mỗi màu 1 quả).
- Số cách lấy là: $C_5^1 \times C_4^1 \times C_3^1 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ (cách).
Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là: $n(\overline{A}) = 15 + 60 = 75$.
Vậy số phần tử của biến cố $A$ là: $n(A) = n(\Omega) – n(\overline{A}) = 220 – 75 = 145$.
Xác suất cần tìm là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{145}{220} = \frac{29}{44}$.
2. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Dưới đây là 5 câu hỏi trắc nghiệm tương tự để các em thực hành. Hãy chọn đáp án đúng nhé!
Câu 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên 2 lần gieo bằng 8 là?
A. $\frac{1}{6}$ B. $\frac{5}{36}$ C. $\frac{1}{9}$ D. $\frac{7}{36}$
Câu 2: Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi trực nhật. Xác suất để trong 4 người được chọn có đúng 2 nữ là?
A. $\frac{14}{33}$ B. $\frac{7}{33}$ C. $\frac{21}{33}$ D. $\frac{1}{11}$
Câu 3: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên gồm 2 chữ số phân biệt. Xác suất để số được chọn là số chẵn bằng?
A. $\frac{4}{9}$ B. $\frac{5}{9}$ C. $\frac{41}{81}$ D. $\frac{40}{81}$
Câu 4: Một hộp đựng 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ. Tính xác suất để tích của 2 số ghi trên 2 thẻ rút được là một số chẵn.
A. $\frac{2}{9}$ B. $\frac{7}{9}$ C. $\frac{5}{9}$ D. $\frac{1}{2}$
Câu 5: Xếp ngẫu nhiên 5 bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài. Xác suất để hai bạn A và B luôn ngồi cạnh nhau là?
A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{2}{5}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{1}{2}$
Xem đáp án và lời giải
Hướng dẫn giải chi tiết:
Câu 1: Chọn B.
Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố tổng chấm bằng 8 là: $(2;6), (6;2), (3;5), (5;3), (4;4)$. Có 5 kết quả.
Xác suất: $P = \frac{5}{36}$.
Câu 2: Chọn A.
Số cách chọn 4 học sinh bất kỳ: $n(\Omega) = C_{12}^4 = 495$.
Gọi A là biến cố “chọn được đúng 2 nữ”. Nghĩa là chọn 2 nữ và 2 nam.
Số cách chọn kết quả thuận lợi: $n(A) = C_5^2 \times C_7^2 = 10 \times 21 = 210$.
Xác suất: $P(A) = \frac{210}{495} = \frac{14}{33}$.
Câu 3: Chọn C.
Gọi số tự nhiên có 2 chữ số phân biệt là $\overline{ab}$ ($a \ne 0, a \ne b$).
Số phần tử không gian mẫu: $a$ có 9 cách chọn, $b$ có 9 cách chọn $\Rightarrow n(\Omega) = 9 \times 9 = 81$.
Để $\overline{ab}$ là số chẵn thì $b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
+ Nếu $b = 0 \Rightarrow a$ có 9 cách chọn.
+ Nếu $b \in \{2, 4, 6, 8\} \Rightarrow b$ có 4 cách chọn, $a$ có 8 cách chọn (do $a \ne 0$ và $a \ne b$).
Số kết quả thuận lợi: $n(A) = 9 + 4 \times 8 = 41$.
Xác suất: $P(A) = \frac{41}{81}$.
Câu 4: Chọn B.
$n(\Omega) = C_{10}^2 = 45$.
Tích 2 số là số chẵn khi có ít nhất 1 số chẵn. Ta dùng biến cố đối: “Tích 2 số là số lẻ”, tức là cả 2 số rút được đều lẻ.
Từ 1 đến 10 có 5 số lẻ. Số cách chọn 2 số lẻ là $C_5^2 = 10$.
Xác suất cần tìm: $P = 1 – \frac{10}{45} = \frac{35}{45} = \frac{7}{9}$.
Câu 5: Chọn B.
Số cách xếp 5 bạn bất kỳ: $n(\Omega) = 5! = 120$.
Coi A và B là 1 nhóm, có $2!$ cách đổi chỗ A và B trong nhóm.
Xếp nhóm (A,B) cùng 3 bạn còn lại (tổng cộng coi như có 4 phần tử) có $4!$ cách.
Số kết quả thuận lợi: $n(A) = 2! \times 4! = 48$.
Xác suất: $P(A) = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}$.
Để lại một bình luận