Một hộp đựng 5 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh và 3 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu lấy ra có 3 màu khác nhau

1. Bài toán minh họa: Tính xác suất cổ điển

Đề bài: Một hộp đựng 5 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh và 3 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu lấy ra có 3 màu khác nhau.

Dạng toán và Phương pháp giải

Dạng toán: Tính xác suất của biến cố sử dụng định nghĩa cổ điển, kết hợp với các quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định không gian mẫu $\Omega$ và tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$.
• Bước 2: Gọi biến cố cần tính xác suất là $A$. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$, kí hiệu là $n(A)$.
• Bước 3: Tính xác suất của biến cố $A$ theo công thức $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.

Lời giải chi tiết

Tổng số quả cầu trong hộp là: $5 + 4 + 3 = 12$ (quả).

Số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ 12 quả là: $n(\Omega) = C_{12}^3 = 220$.

Gọi $A$ là biến cố: “3 quả cầu lấy ra có 3 màu khác nhau”.

Để lấy được 3 quả cầu có 3 màu khác nhau, ta phải chọn 1 quả đỏ, 1 quả xanh và 1 quả vàng. Số cách chọn là: $n(A) = C_5^1 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{60}{220} = \frac{3}{11}$.

2. Bài tập tự luyện (Trắc nghiệm)

Dưới đây là 5 câu hỏi trắc nghiệm tương tự để bạn rèn luyện:

Câu 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo bằng 7.

A. $\frac{1}{6}$     B. $\frac{7}{36}$     C. $\frac{1}{12}$     D. $\frac{5}{36}$

Câu 2: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ tổ đó. Tính xác suất để cả 2 học sinh được chọn đều là nữ.

A. $\frac{2}{5}$     B. $\frac{1}{3}$     C. $\frac{2}{15}$     D. $\frac{8}{15}$

Câu 3: Từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$, lập một số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

A. $\frac{4}{7}$     B. $\frac{3}{7}$     C. $\frac{1}{2}$     D. $\frac{2}{7}$

Câu 4: Chọn ngẫu nhiên một thẻ từ hộp gồm 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để thẻ được chọn mang số chia hết cho 3.

A. $\frac{3}{20}$     B. $\frac{1}{4}$     C. $\frac{3}{10}$     D. $\frac{7}{20}$

Câu 5: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Văn và 5 học sinh giỏi cả Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Xác suất để học sinh đó không giỏi môn nào trong hai môn Toán và Văn là:

A. $\frac{1}{2}$     B. $\frac{5}{8}$     C. $\frac{3}{8}$     D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án và lời giải

Câu 1: Đáp án A

Không gian mẫu khi gieo 2 lần: $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$. Các kết quả thuận lợi để tổng bằng 7 là: $(1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)$. Có 6 kết quả. Xác suất $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Câu 2: Đáp án C

Số cách chọn 2 học sinh bất kì: $n(\Omega) = C_{10}^2 = 45$. Số cách chọn 2 học sinh nữ: $n(A) = C_4^2 = 6$. Xác suất $P = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.

Câu 3: Đáp án B

Không gian mẫu (số có 3 chữ số phân biệt): $n(\Omega) = A_7^3 = 210$. Gọi số cần lập là $\overline{abc}$. Để $\overline{abc}$ chẵn thì $c \in \{2, 4, 6\}$ (có 3 cách). Còn lại 2 chữ số $a, b$ chọn từ 6 chữ số còn lại (có $A_6^2 = 30$ cách). Số kết quả thuận lợi: $3 \times 30 = 90$. Xác suất $P = \frac{90}{210} = \frac{3}{7}$.

Câu 4: Đáp án C

Không gian mẫu: $n(\Omega) = 20$. Các số chia hết cho 3 từ 1 đến 20 là: $3, 6, 9, 12, 15, 18$ (có 6 số). Số kết quả thuận lợi: $n(A) = 6$. Xác suất $P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

Câu 5: Đáp án A

Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn là: $15 + 10 – 5 = 20$ (học sinh). Số học sinh không giỏi môn nào là: $40 – 20 = 20$ (học sinh). Không gian mẫu (chọn 1 học sinh từ 40): $n(\Omega) = 40$. Xác suất chọn được học sinh không giỏi môn nào là: $P = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$.