. Một anh sinh viên T nhập học đại học vào tháng \(8\) năm \(2020\). Bắt đầu từ tháng \(9\) năm \(2020\), cứ vào ngày mồng một hàng tháng anh vay ngân hàng \(3\) triệu đồng với lãi suất cố định \(0,8\% \)/tháng. Lãi tháng trước được cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng tiếp theo . Vào ngày mồng một hàng tháng kể từ tháng \(9\) năm \(2022\) về sau anh không vay ngân hàng nữa và anh còn trả được cho ngân hàng \(2\) triệu đồng do việc làm thêm. Hỏi ngay sau khi kết thúc ngày anh ra trường \(\left( {30/6/2024} \right)\) anh còn nợ ngân hàng bao nhiêu tiền ?

Câu hỏi:

. Một anh sinh viên T nhập học đại học vào tháng \(8\) năm \(2020\). Bắt đầu từ tháng \(9\) năm \(2020\), cứ vào ngày mồng một hàng tháng anh vay ngân hàng \(3\) triệu đồng với lãi suất cố định \(0,8% \)/tháng. Lãi tháng trước được cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng tiếp theo . Vào ngày mồng một hàng tháng kể từ tháng \(9\) năm \(2022\) về sau anh không vay ngân hàng nữa và anh còn trả được cho ngân hàng \(2\) triệu đồng do việc làm thêm. Hỏi ngay sau khi kết thúc ngày anh ra trường \(\left( {30/6/2024} \right)\) anh còn nợ ngân hàng bao nhiêu tiền ?

A. \(49.024.000\) đồng

B. \(46.640.000\) đồng

C. \(47.024.000\) đồng

D. \(45.401.000\) đồng

Lời giải

Anh sinh viên vay hàng tháng \(a = 3\) triệu đồng từ tháng \(9\)/\(2020\) đến hết tháng \(8/2022\), tổng cộng \(24\) tháng.

Cuối tháng thứ 1: \({T_1} = a + {\rm{ar}} = a\left( {1 + r} \right)\)

Cuối tháng thứ 2: \({T_2} = {T_1} + a + \left( {{T_1} + a} \right).r = a.{\left( {1 + r} \right)^2} + a.\left( {1 + r} \right)\)

….

Cuối tháng n: \({T_n} = a.{\left( {1 + r} \right)^n} + a.{\left( {1 + r} \right)^{n – 1}} + … + a.\left( {1 + r} \right)\)

Suy ra \({T_n} = a.\left( {1 + r} \right).\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} – 1}}{r}\)

Vậy tổng số tiền vay đến cuối tháng \(8/2022\) là \({T_{24}} = 3.\left( {1 + 0,8% } \right).\frac{{{{\left( {1 + 0,8% } \right)}^{24}} – 1}}{{0,8% }} = 79,662\) triệu

Tính từ cuối tháng \(8/2022\)anh sinh viên T thiếu ngân hàng \(A = 79,662\)và bắt đầu trả đầu hàng tháng \(m = 2\) triệu từ \(9/2022\) đến \(6/2024\), tổng cộng được \(22\) tháng

Đầu tháng \(9/2022\): còn nợ \(A – m = 79,662 – 2 = 77,662\) triệu

Cuối tháng \(9/2022\): tiền nợ có lãi đến cuối tháng: \({T_1} = 77,662\left( {r + 1} \right)\)

Đầu tháng \(10/2022\)sau khi trả nợ \(m\) thì còn nợ \(77,662\left( {r + 1} \right) – m\)

Cuối tháng \(10/2022\): còn nợ \({T_2} = \left[ {\left( {77,662} \right)\left( {r + 1} \right) – m} \right]\left( {1 + r} \right) = 77,662{\left( {1 + r} \right)^2} – m\left( {1 + r} \right)\)

Cuối tháng \(11/2022\): còn nợ \({T_3} = 77,662{\left( {1 + r} \right)^3} – m{\left( {1 + r} \right)^2} – m\left( {1 + r} \right)\)

Cuối tháng \(6/2024\) còn nợ

\(\begin{array}{l}{T_{22}} = 77,662{\left( {1 + r} \right)^{22}} – m{\left( {1 + r} \right)^{21}} – m{\left( {1 + r} \right)^{20}} – … – m\left( {1 + r} \right)\\ = 77,662{\left( {1 + r} \right)^{22}} – m.\left( {1 + r} \right)\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^{21}} – 1}}{r}\end{array}\)\( = 77,662.{\left( {1 + 0,8% } \right)^{22}} – 2.\left( {1 + 0,8% } \right).\frac{{{{\left( {1 + 0,8% } \right)}^{21}} – 1}}{{0,8% }} = 46,64\) triệu đồng.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Toán thực tế về hàm số mũ và Lôgarit