Mỗi trang giấy của một cuốn sách được qui định diện tích là 460 cm$^2$

Bài toán gốc

Mỗi trang giấy của một cuốn sách được qui định diện tích là 460 cm$^2$. Khi trình bày nội dung lên trang giấy này người ta phải chừa trống lề trên và lề dưới là 3cm, lề trái và lề phải là 2cm. Biết diện tích của phần trình bày nội dung trang giấy có diện tích lớn nhất là $a-\sqrt{b}$. Tính $a+b$.

A. $44644$.

B. $44647$.

C. $44641$.

D. $44643$.

Lời giải: Đặt chiều dài trang giấy là $x$, chiều rộng trang giấy là $y$. Khi đó $xy=460$. Cần tìm giá trị lớn nhất của $P=(x-6)(y-4)$.
$x=\sqrt{690},\max P=484-\sqrt{44160}$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là bài toán tối ưu hóa hình học, cụ thể là tìm giá trị lớn nhất của diện tích phần trình bày nội dung. Phương pháp giải dựa trên việc đặt ẩn cho kích thước trang giấy ($x, y$) và thiết lập hàm mục tiêu $P$ (diện tích nội dung) dựa trên hàm ràng buộc về diện tích tổng thể ($xy=A$). Sau khi rút thế để đưa về hàm một biến $P(x)$, giá trị lớn nhất của $P$ được tìm bằng cách sử dụng Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các số hạng nghịch đảo.

Bài toán tương tự

Một tấm áp phích quảng cáo hình chữ nhật được quy định diện tích là 600 cm$^2$. Để trình bày nội dung, người ta phải chừa lề trên và lề dưới là 4 cm, lề trái và lề phải là 3 cm. Biết diện tích phần nội dung lớn nhất có thể đạt được là $a – \sqrt{b}$. Tính giá trị của $a+b$.

A. 115840.

B. 115848.

C. 115852.

D. 115860.

Đáp án đúng: B. 115848.

Lời giải ngắn gọn: Đặt chiều dài áp phích là $x$, chiều rộng là $y$. Ta có $xy=600$. Tổng lề dọc là $4+4=8$, tổng lề ngang là $3+3=6$. Diện tích phần nội dung là $P = (x-8)(y-6)$.
$P = xy – 6x – 8y + 48 = 600 – 6x – 8(600/x) + 48 = 648 – (6x + 4800/x)$.
Để $P$ đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $Q = 6x + 4800/x$.
Áp dụng BĐT AM-GM: $Q \ge 2\sqrt{6x \cdot (4800/x)} = 2\sqrt{28800}$.
$Q_{min} = 2\sqrt{28800} = 240\sqrt{2}$.
$P_{max} = 648 – 240\sqrt{2}$.
Chuyển về dạng $a – \sqrt{b}$: $P_{max} = 648 – \sqrt{240^2 \cdot 2} = 648 – \sqrt{115200}$.
Ta có $a=648$ và $b=115200$.
Vậy $a+b = 648 + 115200 = 115848$.