Hỏi có bao nhiêu số nguyên \(m\) để bất phương trình \({\log ^3}m + \log {m^3} > {x^6} – 3{x^4} + 6{x^2} – 4\) có không quá 10 nghiệm nguyên. A.\(21\). B.\(22\). C. \(23\). D. \(24\).

Hỏi có bao nhiêu số nguyên \(m\) để bất phương trình \({\log ^3}m + \log {m^3} > {x^6} – 3{x^4} + 6{x^2} – 4\) có không quá 10 nghiệm nguyên.
A.\(21\). B.\(22\). C. \(23\). D. \(24\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Điều kiện \(m > 0\).
Ta có
\(\begin{array}{l} & {\log ^3}m + \log {m^3} > {x^6} – 3{x^4} + 6{x^2} – 4\\ \Leftrightarrow {\log ^3}m + 3\log m > {x^6} – 3{x^4} + 3{x^2} – 1 + 3\left( {{x^2} – 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log ^3}m + 3\log m > {\left( {{x^2} – 1} \right)^3} + 3\left( {{x^2} – 1} \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x\) có \(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 3 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) tức là \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
\(\left( * \right) \Leftrightarrow m > {x^2} – 1 \Leftrightarrow {x^2} < m + 1 \Leftrightarrow - \sqrt {m + 1} < x < \sqrt {m + 1} \). Yêu cầu bài toán tương đương với \(\sqrt {m + 1} \le 5 \Leftrightarrow m \le 24\). Vậy có \(24\) giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.