Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x – m.{\log _2}\sqrt x + 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\sqrt 2 ;16} \right)\)? A. \(3\). B. \(4\). C. \(6\). D. \(5\).

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x – m.{\log _2}\sqrt x + 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\sqrt 2 ;16} \right)\)?
A. \(3\). B. \(4\). C. \(6\). D. \(5\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Ta có \(\log _{\frac{1}{2}}^2x – m.{\log _2}\sqrt x + 1 = 0 \Leftrightarrow \log _2^2x – \frac{m}{2}{\log _2}x + 1 = 0\) (1)
Đặt \(t = {\log _2}x\) do \(x \in \left( {\sqrt 2 ;16} \right)\) nên \(t \in \left( {\frac{1}{2};4} \right)\)
Lúc đó phương trình (1) trở thành:
\({t^2} + 1 = \frac{{mt}}{2} \Leftrightarrow t + \frac{1}{t} = \frac{m}{2}\) (2)
Xét \(y = t + \frac{1}{t}\) với \(t \in \left( {\frac{1}{2};4} \right)\)
\(y’ = 1 – \frac{1}{{{t^2}}} = \frac{{{t^2} – 1}}{{{t^2}}}\), \(y’ = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = – 1\end{array} \right.\), đối chiếu điều kiện ta có \(t = 1\)
Bảng biến thiên

Phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { – 1;2} \right)\) khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm \(t \in \left( {\frac{1}{2};4} \right)\). Dựa vào bảng biến thiên ta có \(2 \le \frac{m}{2} < \frac{{17}}{4} \Leftrightarrow 4 \le m < \frac{{17}}{2}\) Do \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ {4;5;6;7;8} \right\}\). Suy ra có \(5\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.