Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc xây dựng như đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng trong thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất

Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc xây dựng như đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng trong thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất. Xét một Lavabo (bồn rửa) làm bằng sứ đặc hình dạng là một nửa khối elip tròn xoay có thông số kĩ thuật mặt trên của Lavabo là: dài $\times$ rộng: $660 \times 380$ mm (tham khảo hình vẽ bên dưới), Lavabo có độ dày đều là $20$ mm. Thể tích chứa nước của Lavabo bằng bao nhiêu dm$^3$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Đáp án: 18,8

Lời giải: Giả sử mặt trên của Lavabo được biểu diễn như hình vẽ bên dưới.
Gọi hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.
Gọi $\left(E\right)$ là elip nhỏ bên trong.
Độ dài trục lớn của $\left(E\right)$ là
$2a=660-40=620\mathrm{mm}=6{,}2\mathrm{dm}\Rightarrow a=3{,}1$ dm.
Độ dài trục bé của $\left(E\right)$ là
$2b=380-40=340\mathrm{mm}=3{,}4\mathrm{dm}\Rightarrow b=1{,}7$ dm.

Vậy phương trình của $\left(E\right)$ là
$\dfrac{x^2}{\left(3{,}1\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(1{,}7\right)^2}=1\Rightarrow y^2=\dfrac{289}{100}\left(1-\dfrac{100x^2}{961}\right)$
Thể tích khối tròn xoay khi quay miền giới hạn bởi $\left(E\right)$, trục $Ox$ và $x=-\dfrac{31}{10}$, $x=\dfrac{31}{10}$ (Phần gạch chéo trong hình) quanh trục $Ox$ là
$V=\pi\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{31}{10}}^{\tfrac{31}{10}}\dfrac{289}{100}\left(1-\dfrac{100x^2}{961}\right)\mathrm{d}x=\dfrac{8959\pi}{750}\left(\mathrm{d}\mathrm{m^3}\right)$.
Vậy thể tích chứa nước của Lavabo là $\dfrac{V}{2}\approx 18{,}8$ dm$^3$.